Question

【題目】已知AB∥CD，解決下列問題：

（1）如圖①，寫出∠ABE、∠CDE和∠E之間的數量關系：　 　；

（2）如圖②，BP、DP分別平分∠ABE、∠CDE，若∠E＝100°，求∠P的度數；

（3）如圖③，若∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，試寫出∠P與∠E的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；（2）130°；（3）∠P+∠E＝120°，理由見解析

【解析】

（1）猜想得到三角之間的關系，驗證即可；

（2）根據得出三角關系，以及角平分線定義求出四邊形PBED中的三個角，進而利用四邊形內角和求出所求角的度數即可；

（3）依此類推確定出兩角關系，驗證即可．

（1）根據題意得：∠ABE+∠CDE+∠E＝180°，理由如下：

過E作EF∥AB，

∴∠FEB+∠EBA＝180°，

∵CD∥AB，EF∥AB，

∴CD∥EF，

∴∠CDE+∠DEF＝180°，

∴∠CDE+∠DEB+∠ABE＝360°，

故答案為：∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；

（2）∵BP、DP分別平分∠ABE、∠CDE，

∴∠EDP＝∠CDE，∠EBP＝∠ABE，即∠CDE＝2∠EDP，∠ABE＝2∠EBP，

代入（1）的等式得：2∠EBP+2∠EDP+∠E＝360°，

∵∠E＝100°，

∴∠EBP+∠EDP＝180°﹣∠E＝130°，

在四邊形PBED中，∠P＝360°﹣（∠EBP+∠EDP+∠E）＝360°﹣（130°+100°）＝130°；

（3）∠P與∠E的數量關系為：∠P+∠E＝120°，理由如下：

∵∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，

∴∠CDE＝3∠CDP＝1.5∠EDP，∠ABE＝3∠ABP＝1.5∠EBP，

代入（1）的等式得：1.5∠EBP+1.5∠EDP+∠E＝360°，

∴∠EBP+∠EDP＝240°﹣∠E，

在四邊形PBED中，∠P+∠EBP+∠EDP+∠E＝360°，

∴∠P+240°﹣ ∠E+∠E＝360°，即∠P+∠E＝120°．