Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的動點，且AE=BF=CG=DH．

（1）求證：四邊形EFGH是正方形
（2）判斷直線EG是否經過一個定點，并說明理由
（3）求四邊形EFGH面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，

∵AE=BF=CG=DH，

∴AH=BE=CF=DG，

在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），

∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，

∴四邊形EFGH是菱形，

∵∠BEF+∠BFE=90°，

∴∠BEF+∠AEH=90°，

∴∠HEF=90°，

∴四邊形EFGH是正方形

（2）

解：直線EG經過一個定點，這個定點為正方形的中心（AC、BD的交點）；理由如下：

連接AC、EG，交點為O；如圖所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，

∴∠OAE=∠OCG，

在△AOE和△COG中，

∠OAE=∠OCG

∠AOE=∠COG

AE=CG

∴△AOE≌△COG（AAS），

∴OA=OC，即O為AC的中點，

∵正方形的對角線互相平分，

∴O為對角線AC、BD的交點，即O為正方形的中心

（3）

解：設四邊形EFGH面積為S，設BE=xcm，則BF=（8﹣x）cm，

根據勾股定理得：EF2=BE2+BF2=x2+（8﹣x）2，

∴S=x2+（8﹣x）2=2（x﹣4）2+32，

∵2＞0，

∴S有最小值，

當x=4時，S的最小值=32，

∴四邊形EFGH面積的最小值為32cm2．

【解析】（1）由正方形的性質得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，證出AH=BE=CF=DG，由SAS證明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，證出四邊形EFGH是菱形，再證出∠HEF=90°，即可得出結論；
（2）連接AC、EG，交點為O；先證明△AOE≌△COG，得出OA=OC，證出O為對角線AC、BD的交點，即O為正方形的中心；
（3）設四邊形EFGH面積為S，BE=xcm，則BF=（8﹣x）cm，由勾股定理得出S=x2+（8﹣x）2=2（x﹣4）2+32，S是x的二次函數，容易得出四邊形EFGH面積的最小值．