Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其 中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發，設出發的時間為t秒．

（1）當t=2秒時，求PQ的長；
（2）求出發時間為幾秒時，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向運動，則當點Q在邊CA上運動時，求能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間．

Answer 1

【答案】
（1）解：（1）BQ=2×2=4cm，

BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm，

∵∠B=90°，

PQ= = =2 （cm）

（2）解：根據題意得：BQ=BP，

即2t=8﹣t，

解得：t= ；

即出發時間為 秒時，△PQB是等腰三角形

（3）解：分三種情況：

①當CQ=BQ時，如圖1所示：

則∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，

∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=5

∴BC+CQ=11，

∴t=11÷2=5.5秒．

②當CQ=BC時，如圖2所示：

則BC+CQ=12

∴t=12÷2=6秒．

③當BC=BQ時，如圖3所示：

過B點作BE⊥AC于點E，

則BE= = =4.8（cm）

∴CE= =3.6cm，

∴CQ=2CE=7.2cm，

∴BC+CQ=13.2cm，

∴t=13.2÷2=6.6秒．

由上可知，當t為5.5秒或6秒或6.6秒時，

△BCQ為等腰三角形．

【解析】（1）根據點P、Q的運動速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）由題意得出BQ=BP，即2t=8﹣t，解方程即可；（3）當點Q在邊CA上運動時，能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間有三種情況：①當CQ=BQ時（圖1），則∠C=∠CBQ，可證明∠A=∠ABQ，則BQ=AQ，則CQ=AQ，從而求得t；②當CQ=BC時（圖2），則BC+CQ=12，易求得t；③當BC=BQ時（圖3），過B點作BE⊥AC于點E，則求出BE，CE，即可得出t．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰三角形的判定的相關知識，掌握如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等，以及對勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．