Question

【題目】如圖1，等邊△ABC邊長為6，AD是△ABC的中線，P為線段AD（不包括端點A、D）上一動點，以CP為一邊且在CP左下方作如圖所示的等邊△CPE，連結BE．

（1）點P在運動過程中，線段BE與AP始終相等嗎？說說你的理由；
（2）若延長BE至F，使得CF=CE=5，如圖2，問：求出此時AP的長；
（3）當點P在線段AD的延長線上時，F(xiàn)為線段BE上一點，使得CF=CE=5．求EF的長

Answer 1

【答案】
（1）

解：BE=AP；理由如下：

∵△ABC和△CPE均為等邊三角形，

∴∠ACB=∠PCE=60°，AC=BC，CP=CE．

∵∠ACP+∠DCP=∠DCE+∠PCD=60°，

∴∠ACP=∠BCE．

∵在△ACP和△BCE中， ，

∴△ACP≌△BCE（SAS）．

∴BE=AP

（2）

解：如圖2所示：過點C作CH⊥BE，垂足為H．∵AB=AC，AD是BC的中點，

∴∠CAD=∠BAD= ∠BAC=30°．

∵由（1）可知：△ACP≌△BCE，

∴∠CBE=∠CAD=30°，AP=BE．

∵在Rt△BCH中，∠HBC=30°，

∴HC= BC=3，BH= BC=3 ．

∵在Rt△CEH中，EC=5，CH=3，

∴EH= = =4．

∴BE=HB﹣EH=3 ﹣4．

∴AP=3 ﹣4

（3）

解：如圖3所示：過點C作CH⊥BE，垂足為H．

∵△ABC和△CEP均為等邊三角形，

∴AC=BC，CE=PC，∠ACB=∠ECP．

∴∠ACB+∠BCP=∠ECP+BCP，即∠BCE=∠ACP．

∵在△ACP和△BCE中， ，

∴△ACP≌△BCE（SAS）．

∴∠CBH=∠CAP=30°．

∵在Rt△BCH中，∠CBH=30°，

∴HC= BC=3．

∵FC=CE，CH⊥FE，

∴FH=EH．

∴FH=EH= = =4．

∴EF=FH+EH=4+4=8．

【解析】（1）證出∠ACP=∠BCE．由SAS證明△ACP≌△BCE，得出對應邊相等即可．（2）過點C作CH⊥BE，垂足為H．由等邊三角形的性質(zhì)得出∠CAD=∠BAD= ∠BAC=30°．由（1）可知：△ACP≌△BCE，得出∠CBE=∠CAD=30°，AP=BE．由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出HC= BC=3，由勾股定理得出BH= BC=3 ．在Rt△CEH中，由勾股定理求出EH= =4，即可得出AP的長．（3）過點C作CH⊥BE，垂足為H．由SAS證明△ACP≌△BCE，得出∠CBH=∠CAP=30°．由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出HC= BC=3．與等腰三角形的性質(zhì)求出FH=EH．由勾股定理求出FH，即可得出EF的長．
【考點精析】認真審題，首先需要了解全等三角形的性質(zhì)(全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等)．