Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，AB=a，C是半圓上一點，弦AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，連接CD，DB，OD．

（1）求證：△CDF≌△BDE；

（2）當AD= 時，四邊形AODC是菱形；

（3）當AD= 時，四邊形AEDF是正方形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）四邊形AODC是菱形（3）OD⊥AB

【解析】

試題分析：（1）根據角平分線的性質，可得DF與DE的關系，根據圓周角定理，可得DC與DB的關系，根據HL，可得答案；

（2）根據菱形的性質，可得OD與CD，OD與BD的關系，根據正三角形的性質，可得∠DBA的度數，根據三角函數值，可得答案；

（3）根據圓周角定理，可得OD⊥AB，根據勾股定理，可得答案．

試題解析：（1）證明：∵弦AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴DE=DF．

∵弦AD平分∠BAC，

∴∠FAD=∠BAD，

∴BD=CD．

在Rt△BED和Rt△CFD中，

∴Rt△BED≌Rt△CFD （HL）；

（2）四邊形AODC是菱形時，

OD=CD=DB=OB，

∴∠DBA=60°，

∴AD=ABcos∠DBA=asin60°=a，

（3）當OD⊥AB，即OD與OE重合時，四邊形AEDF是正方形，

由勾股定理，得

AD=，