Question

【題目】已知在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，二次函數y=x2+bx的圖象經過點A（﹣1，4），交x軸于點B（a，0）．
（1）求a與b的值；
（2）如圖1，點M為拋物線上的一個動點，且在直線AB下方，試求出△ABM面積的最大值及此時點M的坐標；

（3）在（2）的條件下，點C為AB的中點，點P是線段AM上的動點，如圖2所示，問AP為何值時，將△BPC沿邊PC翻折后得到△EPC，使△EPC與△APC重疊部分的面積是△ABP的面積的 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣1，4）代入y=x2+bx得到4=1﹣b，

∴b=﹣3，

∴y=x2﹣3x，

∵B（a，0）在函數圖象上，

∴a2﹣3a=0，

∴a=3或0（舍棄），

∴a=3

（2）

解：如圖1中，作MG∥y軸交AB于G．

設直線AB解析式為y=kx+b，把（﹣1，4），（3，0）代入得 ，解得 ，

∴y=﹣x+3，設M（x，x2﹣3x），則G（m，﹣m+3），

∴S△ABM=S△AMG+S△BMG= ×4×[（﹣x+3）﹣（x2﹣3x）=﹣2x2+4x+6=﹣2（x﹣1）2+8，

∵﹣2＜0，

∴當x=1時，△ABM的面積最大，最大值為8，

此時M（1，﹣2）．

（3）

解：如圖2中，連接AF．

∵C為AB中點，△EPC與△APC重疊部分的面積是△ABP的面積的 ，

∴F為AC與EP的中點，連接AE，

∴四邊形APCE是平行四邊形，

∴AP=EC=BC= AB=2

【解析】（1）把A（﹣1，4）代入y=x2+bx求出b，再把B（a，0）代入拋物線的解析式即可解決問題．（2）如圖1中，作MG∥y軸交AB于G．設M（x，x2﹣3x），則G（m，﹣m+3），根據S△ABM=S△AMG+S△BMG構建二次函數，利用二次函數的性質解決問題．（3）如圖2中，連接AF．只要證明四邊形APCE是平行四邊形，即可解決問題．