Question

已知矩形ABCD的面積為36，以此矩形的對稱軸為坐標軸建立平面直角坐標系，設點A的坐標為（x，y），其中x＞0，y＞0．
（1）求出y與x之間的函數關系式，求出自變量x的取值范圍；
（2）用x、y表示矩形ABCD的外接圓的面積S，并用下列方法，解答后面的問題：
方法：∵a2+

k2

a2

=(a-

k

a

)2+2k（k為常數且k＞0，a≠0），
∵(a-

k

a

)2≥0
∴a2+

k2

a2

≥2k
∴當a-

k

a

=0，即a=±

k

時，a2+

k2

a2

取得最小值2k．
問題：當點A在何位置時，矩形ABCD的外接圓面積S最小并求出S的最小值；
（3）如果直線y=mx+2（m＜0）與x軸交于點P，與y軸交于點Q，那么是否存在這樣的實數m，使得點P、Q與（2）中求出的點A構成APQ的面積是矩形ABCD面積的

1

6

？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據矩形的對稱性和點A的坐標表示出矩形的長和寬，再根據矩形的面積建立函數解析式；
（2）要求矩形的外接圓的面積，主要是求得矩形的外接圓的半徑．根據對稱性得矩形的外接圓的圓心是平面直角坐標系的原點，則根據勾股定理求得其外接圓的半徑，再進一步表示出其外接圓的面積S．結合（1）中的函數解析式得到S關于x的函數解析式，再根據提供的方法進行分析其最小值；
（3）根據直線的解析式表示出點P，Q的坐標，再運用割補法把三角形的面積轉化為規則圖形的面積表示出三角形的面積，根據題意列方程求解．

解答：解：（1）建立如圖的平面直角坐標系，
根據點A（x，y），得矩形的長是2x，寬是2y，
則有2x•2y=36，即y=

9

x

（x＞0）；

（2）連接OA，則矩形的外接圓的半徑即為OA的長，根據勾股定理，得OA=

x2+y2

，
∴矩形的外接圓面積S=π（x²+y²）
∵x²+y²=x²+(

9

x

)2=（x-

9

x

）²+18
∴當x-

9

x

=0，x=3時，即A（3，3）時S最小，其最小值是18π；

（3）存在．設AB與y軸相交于點E，
由已知，得A（3，3），Q（0，2），P（-

2

m

，0），
∴S_△PAQ=S_梯形APOE-S_△AQE-S_△POQ=3-

1

m

=6，
∴m=-

1

3

．

點評：解答本題時要特別注意根據提供的方法求得函數的最值，能夠把不規則圖形的面積進行轉換．