【題目】已知，△ABC為等邊三角形，點D，E為直線BC上兩動點，且BD＝CE． 點F，點E關于直線AC成軸對稱，連接AE，順次連接A，D，F．
（1）如圖1，若點D，點E在邊BC上，試判斷△ADF的形狀并說明理由；
（2）如圖2，若點D，點E在邊BC外，求證：
．
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【題目】在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點，把△PBC沿直線PC折疊，頂點B的對應點是點G，過點B作BE⊥CG，垂足為E且在AD上，BE交PC于點F．
（1）如圖1，若點E是AD的中點，求證：△AEB≌△DEC；
（2）如圖2，①求證：BP=BF；
②當AD=25，且AE＜DE時，求cos∠PCB的值；
③當BP=9時，求BEEF的值．
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【題目】探究
(1)已知如圖1，若AB∥CD，P為平行線內的一點請你判斷∠B+∠P+∠D= 度，并說明理由.
(2)如圖2，若AB∥CD ，P1、P2為平行線內的兩個點，請求出∠B+∠P1+∠P2+∠D= 度(不需要說明理由)
(3)如圖3，如此類推若AB∥CD，P1、、P2、P3、P4、……Pn為平行線內的n個點，請求出∠B+∠P1+∠P2+∠P3+……．+∠Pn-1+∠Pn+∠D= 度(不需要說明理由)
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【題目】如圖 1，已知線段 AB=12 cm，點 C 為線段 AB 上的一動點（點 C 不與 A，B 重合），點D，E 分別是 AC 和 BC 的中點．
（1）若點 C 恰好是 AB 的中點，則 DE= cm；
（2）若 AC=4 cm，求 DE的長；
（3）試說明當點C在線段 AB 上運動時，DE 的長不變；
（4）如圖 2，已知∠AOB=120°，在∠AOB 的內部任畫一條射線 OC．
①請分別畫出∠AOC 和∠COB 的平分線 OD，OE（不要求尺規作圖）；
②說明∠DOE 的度數與射線 OC 的位置無關．
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【題目】城區某新建住宅小區計劃購買并種植甲、乙兩種樹苗共300株．已知甲種樹苗每株60元，乙種樹苗每株90元．
（1）若購買樹苗共用21000元，問甲、乙兩種樹苗應各買多少株？
（2）據統計，甲、乙兩種樹苗每株樹苗對空氣的凈化指數分別為
和
，問如何購買甲、乙兩種樹苗才能保證該小區的空氣凈化指數之和等于90？
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【題目】已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上的一點，BE=BA，過E作EF⊥AB，F為垂足．下列結論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF；其中正確的是（ ）
A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④
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【題目】我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形．
（1）請你寫出一個等對邊四邊形的名稱；
（2）如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，設CD、BE相交于點O，若∠A=50°，
．請寫出圖中其余等于50°的角，并猜想圖中哪個四邊形為等對邊四邊形(不需證明）；
（3）在
中，如果∠A是不等于50°的銳角，點D、E分別在AB、AC上，且．探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結論．
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【題目】我們新定義一種三角形：若一個三角形中存在兩邊的平方差等于第三邊上高的平方，則稱這個三角形為勾股高三角形，兩邊交點為勾股頂點．
●特例感知
①等腰直角三角形 勾股高三角形（請填寫“是”或者“不是”）；
②如圖1，已知△ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點，CD是AB邊上的高．若
，試求線段CD的長度．
●深入探究
如圖2，已知△ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點且CA＞CB，CD是AB邊上的高．試探究線段AD與CB的數量關系，并給予證明；
●推廣應用
如圖3，等腰△ABC為勾股高三角形，其中
，CD為AB邊上的高，過點D向BC邊引平行線與AC邊交于點E．若
，試求線段DE的長度．
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【題目】如圖，直線m∥n，Rt△ABC的頂點A在直線n上，∠C＝90°，AB，CB分別交直線m于點D和點E，且DB＝DE，若∠1＝65°，則∠BDE的度數為（ ）
A.115°B.120°C.130°D.145°
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