Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點C(－2，6)，

與x軸相交于A、B兩點(A在B的左側)，與y軸交于點D．

(1)求點A的坐標；

(2)設直線BC交y軸于點E，連接AE、AC，求證：是等腰直角三角形;

(3)連接AD交BC于點F，試問當時，在拋物線上是否存在一點P使得以A、B、P為頂點的三角形與相似？若存在， 請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)A(-4,0);(2)證明見解析；（3）存在,（-2，6）或.

【解析】試題分析: （1）將點C（-2，6）代入解析式求出m的值，令y=0，求出A的坐標；

（2）根據兩點間的距離公式求出AE、CE的長度，再根據股定理的逆定理判斷出△AEC是等腰直角三角形；

（3）求出AD、BC的解析式組成方程組，解出F的坐標，根據三角形相似求出P點的坐標．

試題解析:

（1）∵拋物線經過點C(－2，6)

∴

∴

∴

∴當，

,

（2）證明：設直線BC的函數解析式為y=kx+b，

由題意得： ，解得： .

∴直線BC的解析式為y=－2x+2．

∴點E的坐標為（0，2）.

∴ .

∴AE=CE

又∵

∴

∴△AEC為等腰直角三角形

（3）在拋物線上是否存在一點P使得以A、B、P為頂點的三角形與相似。理由如下：

設直線AD的解析式為y=k1x+b1，則 ，解得： .

∴直線AD的解析式為y=x+4。

聯立直線AD與直線BC的函數解析式可得： ，解得： .

∴點F的坐標為（ , ）。

則 ,

。

又∵AB=5， ，

∴.

∴.

又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA。

∴當點P與點C重合時，以A、B、P為頂點的三角形與相似。

又∵拋物線關于直線對稱

當點P與點C的對稱點重合時，以A、B、P為頂點的三角形也與相似。

∴當點P的坐標為（-2，6）或（-時，以A、B、P為頂點的三角形與相似。