Question

如圖，已知C在⊙O上，過點C的切線與直徑AB的延長線交于點E，過點A作EC的垂線交直線EC于D，與⊙O交于點F，連結AC、CF．求證：AC²＝AE·AF．

Answer 1

答案：
解析：

證明：連結BF，則∠BFA＝， 　　∴BF∥ED． 　　∴∠E＝∠ABF＝∠ACF． 　　又∵∠EAC＝∠BFC＝∠FCD， 　　且∠FCD＝∠CAF， 　　∴∠EAC＝∠CAF． 　　∴△AEC∽△ACF． 　　∴＝． 　　∴AC2＝AE·AF．

提示：

尋求幾何問題證題思路的常用方法是分析法，即假設命題的結論成立，若能由此逐步推導到已知條件或熟知的定理，且這些推理過程是互逆的，那么它的證題思路就算找到了．比如本題，要證AC2＝AE·AF成立，因這些線段分別是△AEC和△ACF的對應邊，故只須證這兩個三角形相似；而要證它們相似，只須證它們有兩對對應角相等．至此，問題轉化為“證明△AEC和△ACF的對應角相等”．在這些角中，除∠E外，它們都是⊙O的圓周角或弦切角．為便于比較，最好把∠E也轉化為圓周角或弦切角，而實現這一轉化的最方便做法是作輔助殘BF．當然，也可以運用弦切角定理來證明它們另一對較大的角(∠ACE和∠AFC)相等，同樣可證明△AEC∽△ACF．