Question

【題目】如圖1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．作正方形DEFG，使點(diǎn)A、C分別在DG和DE上，連接AE，BG．

（1）求證：AE=BG
（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤360°）如圖2所示，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果仍成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；
（3）若BC=DE=4，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α為多少度時(shí)，AE取得最大值？直接寫出AE取得最大值時(shí)α的度數(shù)，并利用備用圖畫出這時(shí)的正方形DEFG，最后求出這時(shí)AF的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，BD=CD，

∴∠ADB=∠ADC=90°，AD=DC=DB，

∵四邊形DEFG是正方形，

∴DE=DG，

∴△ADE≌△BDG（SAS），

∴BG=AE；

（2）

解：成立；

理由如下：如圖2，連接AD，

由（1）知AD=BD，AD⊥BC．

∴∠ADG+∠GDB=90°．

∵四邊形EFGD為正方形，

∴DE=DG，且∠GDE=90°．

∴∠ADG+∠ADE=90°

∴∠BDG=∠ADE．

在△BDG和△ADE中，

∵BD=AD，∠BDG=∠ADE，GD=ED，

∴△BDG≌△ADE（SAS）

∴AE=BG；

（3）

解：α=270°；

正方形DEFG如圖3所示

由（2）知BG=AE

∴當(dāng)BG取得最大值時(shí)，AE取得最大值．

∵BC=DE=4，

∴EF=4，

∴BG=2+4=6

∴AE=6

在Rt△AEF中，由勾股定理，得

AF= = =2 ．

【解析】（1）在Rt△BDG與Rt△EDA；根據(jù)邊角邊定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；（2）連接AD，根據(jù)直角三角形與正方形的性質(zhì)可得Rt△BDG≌Rt△EDA；進(jìn)而可得BG=AE；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，求BG的最大值，分析可得此時(shí)F的位置，由勾股定理可得答案．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等腰直角三角形和勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．