Question

【題目】等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，點E是AD上的一點，連接CE，將線段EC繞點E順時針旋轉一定的角度，使得點C落在了點F處，且滿足∠CEF＝∠CAB，連接BF

（1）如圖，若∠BAC＝60°，則線段AE與BF的數量關系為　 　；

（2）如圖，若∠BAC＝90°，求證：BF＝AE：（寫出證明過程）

（3）如圖．在（2）的條件下，連接FD并延長分別交CE、CA于點M，N，BC＝8，FD＝DE，求△DCN和△CMN的面積

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）當∠BAC＝60°，根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可得△ABC，△CEF為等邊三角形，再證明△ACE≌△BCF，從而得到AE＝BF，（2）當∠BAC＝90°時，可知△ABC，△CEF是等腰直角三角形，可證△ACE∽△BCF，利用對應邊成比例，結論可證，（3）過點F作FG⊥BC于G，連接GE，由（2）可得△BGF是等腰直角三角形，進而可證FD＝DG，Rt△DGF中，利用勾股定理可得BF＝3，由三角形全等可得CN＝3，又AN＝，則△DCN的面積＝×△ACD的面積＝×8＝6，過N作NH∥AD，交CE于H，由平行線分線段成比例，可得，，則△CMN的面積＝×△DCN的面積＝×6＝.

解：（1）AE＝BF，理由如下，

連接CF，

當∠BAC＝60°時，由AB＝AC，可得△ABC是等邊三角形，

∵∠CEF＝∠CAB＝60°，CE＝FE，

∴△CEF是等邊三角形，

∴∠ACB＝∠ECF＝60°，

∴∠ACE＝∠BCF，

在△ACE和△BCF中

,

∴△ACE≌△BCF（SAS），

∴AE＝BF，

（2）連接CF，

當∠BAC＝90°時，由AB＝AC，可得△ABC是等腰直角三角形，

∴，

∵∠CEF＝∠CAB＝90°，CE＝FE，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴，且∠ACB＝∠ECF＝45°，

∴，∠ACE＝∠BCF，

∴△ACE∽△BCF，

∴=，

即BF＝AE；

（3）過點F作FG⊥BC于G，連接GE，

由（2）可得∠FBC＝∠EAC＝45°，

∴△BGF是等腰直角三角形，

∴BG＝FG，且BF＝BG，

又∵BF＝AE，

∴BG＝AE，

∵等腰直角三角形ABC中，AD＝BD＝BC＝4，

∴DG＝DE，

∵FD＝DE，

∴FD＝DG，

設DG＝x，則GF＝GB＝4﹣x，DF＝x，

∴Rt△DGF中，x2+（4﹣x）2＝（x）2，

解得x1＝1，x2＝﹣（舍去），

∴DG＝DE＝1，

∴AD＝BG＝FG＝4﹣1＝3，

∴BF＝＝3，

由∠FBC＝∠ACD＝45°，BD＝CD，∠BDF＝∠CDN，可得△BDF≌△CDN（ASA），

∴BF＝CN＝3，

∵Rt△ACD中，AC＝＝4，

∴AN＝，

∴△DCN的面積＝×△ACD的面積＝×8＝6，

過N作NH∥AD，交CE于H，

∴△CNH∽△CAE,

∴，即,

∴NH＝，

由NH∥AD，可得，即，

∴△CMN的面積＝×△DCN的面積＝×6＝.