Question

已知：如圖，拋物線y=

1

3

x²-

2 3

3

x+m與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，∠ACB=90°，
（1）求m的值及拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過A、B、C的三點(diǎn)的⊙M交y軸于另一點(diǎn)D，連接DM并延長(zhǎng)交⊙M于點(diǎn)E，過E點(diǎn)的⊙M的切線分別交x軸、y軸于點(diǎn)F、G，求直線FG的解析式；
（3）在條件（2）下，設(shè)P為

CBD

上的動(dòng)點(diǎn)（P不與C、D重合），連接PA交y軸于點(diǎn)H，問是否存在一個(gè)常數(shù)k，始終滿足AH•AP=k？如果存在，請(qǐng)寫出求解過程；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線過C點(diǎn)，因此C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，m）．OC=-m，在直角三角形ACB中，由于OC⊥AB，根據(jù)射影定理可得出OC²=OA•OB，而OA•OB可根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出，由此可得出關(guān)于m的方程，求出m的值，即可確定拋物線的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的解析式即可得出其頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）由于△AOC和△MOD中，∠ACO和∠MDO的正切值相同，因此這兩角也相等，可得出AC∥DE，也就能求出DE⊥CB，因此BC∥FG，由此可得出直線FG與直線BC的斜率相同，可先根據(jù)B、C的坐標(biāo)求出直線BC的解析式，然后即可得出直線FG的斜率．那么關(guān)鍵是求出E點(diǎn)的坐標(biāo)．連接CE，DC⊥CE，C點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是E點(diǎn)的縱坐標(biāo)，在直角三角形DCE中，可根據(jù)DE，DC的長(zhǎng)求出CE的長(zhǎng)，也就能求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)E點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出直線FG的解析式．
（3）連接CP、AP，利用垂徑定理、三角形相似（△ACH∽△APC）、勾股定理解答即可；

解答：解：（1）由拋物線可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m），且m＜0．
設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0）．
則有x₁•x₂=3m
又OC是Rt△ABC的斜邊上的高，
∴△AOC∽△COB
∴

OA

OC

=

OC

OB

∴

-x1

-m

=

-m

x2

，
即x₁•x₂=-m²
∴-m²=3m，解得m=0或m=-3
而m＜0，
故只能取m=-3（3分）
這時(shí)，y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3=

1

3

(x-

3

)2-4
故拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，-4）．

（2）由已知可得：M（

3

，0），A（-

3

，0），B（3

3

，0），
C（0，-3），D（0，3）
∵拋物線的對(duì)稱軸是x=

3

，也是⊙M的對(duì)稱軸，連接CE
∵DE是⊙M的直徑，
∴∠DCE=90°，
∴直線x=

3

，垂直平分CE，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2

3

，-3）
∵

OA

OC

=

OM

OD

=

3

3

，∠AOC=∠DOM=90°，
∴∠ACO=∠MDO=30°，
∴AC∥DE
∵AC⊥CB，
∴CB⊥DE
又∵FG⊥DE，
∴FG∥CB
由B（3

3

，0）、C（0，-3）兩點(diǎn)的坐標(biāo)易求直線CB的解析式為：
y=

3

3

x-3
可設(shè)直線FG的解析式為y=

3

3

x+n，把（2

3

，-3）代入求得n=-5
故直線FG的解析式為y=

3

3

x-5．

（3）存在常數(shù)k=12，滿足AH•AP=12，
假設(shè)存在常數(shù)k，滿足AH•AP=k
連接CP，
∵AB⊥CD，
∴

AD

=

AC

∴∠P=∠ACH（或利用∠P=∠ABC=∠ACO），
又∵∠CAH=∠PAC，
∴△ACH∽△APC，

AC

AH

=

AP

AC

，
∴即AC²=AH•AP，
在Rt△AOC中，AC²=AO²+OC²=（

3

）²+（3）²=12，
∴AH•AP=k=12；

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形相似、一次函數(shù)的性質(zhì)、相交弦定理等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．