Question

【題目】如圖， 在四邊形ABCD中，AD∥BC, E為CD的中點，連接 AE 、BE ，BE⊥AE， 延長AE交BC的延長線于 F，求證：（1） BE平分∠ABC （2）AB=BC+AD

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

(1)根據AD//BC可知∠DAE=∠F ,∠D=∠ECF,再根據E是CD的中點可求出△ADE≌△FCE，根據全等三角形的性質可得AE=EF ,AD=CF，由BE⊥AE可得∠AEB=∠FEB可證△ABE≌△FBE即可解答.

(2)由（1）知 AD=CF， △ABE≌△FBE，可判斷出AB= BF，由BF=BC+CF=BC+AD即可證.

證明： 如圖 延長AE交BC的延長線于 F，

（1）∵ AD∥BC

∴ ∠DAE=∠F ∠D=∠ECF

∵ E為CD中點

∴ DE=CE

∵在△ADE和△FCE中

∴ △ADE≌△FCE （AAS）

∴ AE=EF，AD=CF

又∵ BE⊥AE

∴ ∠AEB=∠FEB=90°

∵在△ABE和△FBE中

∴ △ABE≌△FBE （SAS）

∴∠ABE=∠FBE

則BE平分∠ABC

（2）由（1）知 AD=CF △ABE≌△FBE

∴AB=BF

∵BF=BC+CF

∴BF=BC+CF=BC+AD

∴AB=BC+AD