Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，過對角線BD中點O的直線分別交AB，CD邊于點E，F．

（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當四邊形BEDF是菱形時，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）根據平行四邊形ABCD的性質，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四邊形BEDF的對角線互相平分，進而得出結論；

（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的長．

(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點，

∴∠A=90°,AD=BC=4,AB∥DC，OB=OD，

∴∠OBE=∠ODF，

在△BOE和△DOF中,

，

∴△BOE≌△DOF(ASA)，

∴EO=FO，

∴四邊形BEDF是平行四邊形；

(2)當四邊形BEDF是菱形時，BE⊥EF，

設BE=x，則 DE=x，AE=6x，

在Rt△ADE中,DE=AD+AE，

∴x=4+(6x) ，

解得：x= ，

∵BD=，

∴OB= BD= ，

∵BD⊥EF，

∴EO= ，

∴EF=2EO= .