Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點A和C分別在x軸和y軸正半軸上，點B坐標為（3，3），拋物線y=﹣x2+bx+c過點A、C，交x軸負半軸于點D，與BC邊的另一個交點為E，拋物線的頂點為M，對稱軸交x軸于點N．

（1）求拋物線的函數關系式；

（2）點P在直線MN上，求當PE+PA的值最小時點P的坐標；

（3）如圖2，探索在x軸是否存在一點F，使∠CFO=∠CDO﹣∠CAO？若存在，求點F的坐標；不存在，說明理由；

（4）將拋物線沿y軸方向平移m個單位后，頂點為Q，若QO平分∠CQN，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）P（1，2）（3）F（6，0），（-6，0）；（4）Q（1， ），（1， ）

【解析】試題分析：（1）由已知條件易得點A和點C的坐標，再利用待定系數法即可求得函數的解析式；（2）AC與對稱軸的交點就是P，利用待定系數法求得AC的解析式，即可求得點P的坐標；（3）在y軸的正半軸上截取OH=OD=1，則H的坐標是（0，1），延長DH交AC于點G，則DG⊥AC，∠CDH=∠CDO﹣∠CAO，當F在x軸的負半軸上時，當∠CFO=∠CDH=∠CDO﹣∠CAO時，則△CFO∽△CDG，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求得OF的長，則F的坐標即可求得，然后根據對稱性求得F在x軸的正半軸時的坐標；

（4）當拋物線沿y軸的正半軸移動時，Q的橫坐標是1，QO平分∠CQN，則CQ=OC，利用勾股定理即可求得Q的縱坐標；同理求得拋物線沿y軸的負半軸移動時Q的坐標．

試題解析： 解：（1）∵四邊形OABC是正方形，B的坐標是（3，3），

∴A的坐標是（3，0），C的坐標是（0，3）．

根據題意得，

解得：，

則二次函數的解析式是y=﹣x2+2x+3；

（2）設直線AC的解析式是y=ax+b，

，

解得：，

則直線AC的解析式是y=﹣x+3，

當x=1時，y=﹣1+3=2，

則P的坐標是（1，2）；

（3）在y=﹣x2+2x+3中令y=0，則﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3．

則D的坐標是（﹣1，0）A的坐標是（3，0）．

在y軸的正半軸上截取OH=OD=1，則H的坐標是（0，1），延長DH交AC于點G，則DG⊥AC；

∵直角△ODF中，OH=OD，

∴∠HDO=45°，

同理，∠CAO=45°，

∴∠HDO=∠CAO．則∠CDH=∠CDO﹣∠CAO．

當F在x軸的負半軸上時，

設DG的解析式是y=ex+f，則，

解得，則DG的解析式是y=x+1．

根據題意得：，

解得：，

則G的坐標是（1，2）．

則DG=，CD=，CG=．

當∠CFO=∠CDH=∠CDO﹣∠CAO時，△CFO∽△CDG，

則，即，解得：OF=6，

則F的坐標是（﹣6，0）．

根據對稱性可得當F在x軸的正半軸上時F的坐標是（6，0）；

（4）當拋物線沿y軸的正半軸移動時，如圖3，

設Q的坐標是（1，n）．作QI⊥y軸于點I．則IQ=1，IC=n﹣3，

則QO平分∠CQN，則CQ=OC=3，12+（n﹣3）2=32，

解得：n=3+2，

則Q的坐標是（1，3+2）；

同理，當拋物線沿y軸的負方向移動時Q的坐標是（1，3﹣2）．

總之，Q的坐標是（1，3+2）或（1，3﹣2）．