Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE＝∠B.

(1)求證：∠DAF＝∠CDE；

(2)求證：△ADF∽△DEC；

(3)若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）先根據四邊形ABCD是平行四邊形，得出∠B=∠ADC，再由∠AFE=∠B可得出∠AFE=∠ADC，通過等量代換可得出∠DAF=∠CDE；
（2）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得出AD∥BC，∠ADE=∠CED，再根據∠DAF＝∠CDE，故可得出結論；
（3）先由四邊形ABCD是平行四邊形，可得出AD∥BC，CD=AB=4，再由AE⊥BC，得出AE⊥AD，由勾股定理求出DE的長，由△ADF∽△DEC可得出兩三角形的邊對應成比例，進而可得出AF的長．

解：（1）證明：

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴∠B=∠ADC

∵∠AFE=∠B，∴∠AFE=∠ADC

∵∠AFE=∠1+∠2，∠ADC=∠3+∠2

∴∠1+∠2=∠3+∠2，即∠1=∠3

∴∠DAF=∠CDE

（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD∥BC，∴∠2=∠4

由（1）得∠1=∠3 ∴△ADF∽△DEC

(3)∵AE⊥BC，∴AE⊥AD

∴DE=

由（2）可知：△ADF∽△DEC，CD=AB=7

∴

∴

∴AF=