Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于點A、B，與y軸分別交于點C，其中點，點，且.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是線段AB上一動點，過P作交BC于D，當面積最大時，求點P的坐標；

（3）點M是位于線段BC上方的拋物線上一點，當恰好等于中的某個角時，求點M的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，S最大，此時；（3）或

【解析】

（1）先根據射影定理求出點，設拋物線的解析式為：，將點代入求出，然后化為一般式即可；

（2）過點P作y軸的平行線交BC于點E，設，用待定系數法分別求出直線BC，直線AC，直線PD的解析式，表示出點E，點D的坐標，然后根據三角形面積公式列出二次函數解析式，利用二次函數的性質求解即可；

（3）分兩種情況求解：當時和當時.

（1）∵，，

∴，.

∵，

∴由射影定理可得：，

∴，∴點，

設拋物線的解析式為：，將點代入上式得：，

∴拋物線的解析式為：；

（2）過點P作y軸的平行線交BC于點E，設，

設，

把，代入得

，

∴，

∴，

∴，

同樣的方法可求，

故可設，把代入得，

聯立解得：，

∴，

，

故當時，S最大，此時；

（3）由題知，，

當時，，

∴點C與點M關于對稱軸對稱，

∴；

當時，過M作于F，過F作y軸的平行線，交x軸于G，交過M平行于x軸的直線于K，

∵∠，BFM=∠BGF，

∴△MFK∽△FGB，

同理可證：，

∴，，

設，則，

∴，

∴，代入，

解得

，或（舍去），

∴，

故或.