Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，對“隔離直線”給出如下定義：
點P（x，m）是圖形G1上的任意一點，點Q（x，n）是圖形G2上的任意一點，若存在直線l：kx+b（k≠0）滿足m≤kx+b且n≥kx+b，則稱直線l：y=kx+b（k≠0）是圖形G1與G2的“隔離直線”．
如圖1，直線l：y=﹣x﹣4是函數y= （x＜0）的圖象與正方形OABC的一條“隔離直線”．

（1）在直線y1=﹣2x，y2=3x+1，y3=﹣x+3中，是圖1函數y= （x＜0）的圖象與正方形OABC的“隔離直線”的為；
請你再寫出一條符合題意的不同的“隔離直線”的表達式：；
（2）如圖2，第一象限的等腰直角三角形EDF的兩腰分別與坐標軸平行，直角頂點D的坐標是（ ，1），⊙O的半徑為2．是否存在△EDF與⊙O的“隔離直線”？若存在，求出此“隔離直線”的表達式；若不存在，請說明理由；

（3）正方形A1B1C1D1的一邊在y軸上，其它三邊都在y軸的右側，點M（1，t）是此正方形的中心．若存在直線y=2x+b是函數y=x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的圖象與正方形A1B1C1D1的“隔離直線”，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）y1=﹣2x；y=﹣3x
（2）

連接OD，過點D作DG⊥x軸于點G，如圖．

在Rt△DGO中，OD= =2，

sin∠1= = ，

∴∠1=30°，∠2=60°，

∵⊙O的半徑為2，

∴點D在⊙O上．

過點D作DH⊥OD交y軸于點H，

∴直線DH是⊙O的切線，也是△EDF與⊙O的“隔離直線”．

在Rt△ODH中，OH= =4，

∴點H的坐標是（0，4），

∴直線DH的表達式為y=﹣ x+4，

即所求“隔離直線”的表達式為y=﹣ x+4

（3）

如圖，

由題意F（4，5），當直線y=2x+b經過點F時，5=8+b，

∴b=﹣3，

∴直線y=2x﹣3，即圖中直線EF，

∵正方形A1B1C1D1的中心M（1，t），

易知正方形正方形A1B1C1D1的邊長為2，

當x=2時，y=1，

∴C1（2，1），直線EF是函數y=x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的圖象與正方形A1B1C1D1的“隔離直線”，此時t=2，

當直線y=2x+b與y=x2﹣2x﹣3只有一個交點時，

消去y得到x2﹣4x﹣3+b=0，

由△=0，可得16﹣4（﹣3﹣b）=0，

解得b=﹣7，

此時易知M（1，﹣8），t=﹣8，

根據圖象可知，當t≥2或t≤﹣8時，直線y=2x+b是函數y=x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的圖象與正方形A1B1C1D1的“隔離直線”

【解析】解：（1）根據的“隔離直線”的定義可知y1=﹣2x，是圖1函數y= （x＜0）的圖象與正方形OABC的“隔離直線”，直線y=﹣3x也是圖1函數y= （x＜0）的圖象與正方形OABC的“隔離直線”，所以答案是y1=﹣2x，y=﹣3x．