Question

【題目】如圖，在ABCD中，過點A作AE⊥BC于點E，AF⊥DC于點F，AE=AF．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）若∠EAF=60°，CF=2，求AF的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：證法一：連接AC，如圖．

∵AE⊥BC，AF⊥DC，AE=AF，

∴∠ACF=∠ACE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC．

∴∠DAC=∠ACB．

∴∠DAC=∠DCA，

∴DA=DC，

∴四邊形ABCD是菱形．

證法二：如圖，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠B=∠D．

∵AE⊥BC，AF⊥DC，

∴∠AEB=∠AFD=90°，

又∵AE=AF，

∴△AEB≌△AFD．

∴AB=AD，

∴四邊形ABCD是菱形．

（2）解：連接AC，如圖．

∵AE⊥BC，AF⊥DC，∠EAF=60°，

∴∠ECF=120°，

∵四邊形ABVD是菱形，

∴∠ACF=60°，

在Rt△CFA中，AF=CFtan∠ACF=2

【解析】（1）方法一：連接AC，利用角平分線判定定理，證明DA=DC即可；方法二：只要證明△AEB≌△AFD．可得AB=AD即可解決問題．（2）在Rt△ACF，根據AF=CFtan∠ACF計算即可．
【考點精析】利用平行四邊形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．