Question

【題目】已知點P（2，﹣3）在拋物線L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k均為常數(shù)且a≠0）上，L交y軸于點C，連接CP．

（1）用a表示k，并求L的對稱軸；

（2）當(dāng)L經(jīng)過點（4，﹣7）時，求此時L的表達式及其頂點坐標(biāo)；

（3）橫，縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點．如圖，當(dāng)a＜0時，若L在點C，P之間的部分與線段CP所圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）恰有5個整點，求a的取值范圍；

（4）點M（x1，y1），N（x2，y2）是L上的兩點，若t≤x1≤t+1，當(dāng)x2≥3時，均有y1≥y2，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）k＝﹣3﹣a，x＝1；（2）y＝﹣x2+x﹣3，頂點坐標(biāo)為（1，﹣）；（3）﹣6≤a＜﹣5；（4）﹣1≤t≤2

【解析】

（1）點代入拋物線上，則；拋物線的對稱軸為直線，即；

（2）點，代入拋物線上，則有，解得，，即可求解；

（3）頂點坐標(biāo)，時在指定區(qū)域內(nèi)有5個整數(shù)點；

（4）當(dāng)時，或；當(dāng)時，或．

解：（1）∵點P（2，﹣3）在拋物線L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k均為常數(shù)且a≠0）上，

∴﹣3＝4a﹣4a+a+k，

∴k＝﹣3﹣a；

拋物線的對稱軸為直線，即；

（2）∵L經(jīng)過點（4，﹣7），

∴16a﹣8a+a+k＝﹣7，

∵k＝﹣3﹣a，

，解得，，

∴L的表達式為y＝﹣x2+x﹣3；

，

∴頂點坐標(biāo)為（1，﹣）；

（3）頂點坐標(biāo)（1，﹣a﹣3），

∵在點C，P之間的部分與線段CP所圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）恰有5個整點，

∴2＜﹣a﹣3≤3，

∴﹣6≤a＜﹣5；

（4）當(dāng)a＞0時，t≥3或t+1≤﹣1，

∴t≥3或t≤﹣2；

代入檢驗，此時有不符合條件的點使y1≥y2，

故此情況舍去；

當(dāng)a＜0時，t+1≤3且t≥﹣1，

∴﹣1≤t≤2；

綜上所述，﹣1≤t≤2；