Question

【題目】如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且OP＝4，點(diǎn)E、F分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，若△PEF周長(zhǎng)的最小值等于4，則α＝_____．

Answer 1

【答案】30°

【解析】

設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)E、F在CD上時(shí)，△PEF的周長(zhǎng)為PE+EF+FP＝CD，此時(shí)周長(zhǎng)最小，根據(jù)CD＝4，求出α的度數(shù)即可．

解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接CD，交OA于E，OB于F．此時(shí)，△PEF的周長(zhǎng)最小．

連接OC，OD，PE，PF．

∵點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于OA對(duì)稱，

∴OA垂直平分PC，

∴∠COA＝∠AOP，PE＝CE，OC＝OP，

同理，可得∠DOB＝∠BOP，PF＝DF，OD＝OP．

∴∠COA+∠DOB＝∠AOP+∠BOP＝∠AOB＝α，OC＝OD＝4，

∴∠COD＝2α．

又∵△PEF的周長(zhǎng)＝PE+EF+FP＝CE+EF+FD＝CD＝4，

∴OC＝OD＝CD＝4，

∴△COD是等邊三角形，

∴2α＝60°，

∴α＝30°．

故答案為：30°