Question

已知：如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠O）經過X軸上的兩點A（x₁，0）、B（x₂，0）和y軸上的點C（0，-

3

2

），⊙P的圓心P在y軸上，且經過B、C兩點，若b=

3

a，AB=2

3

，
（1）求拋物線的解析式；
（2）設D在拋物線上，且C，D兩點關于拋物線的對稱軸對稱，問直線BD是否經過圓心P，并說明理由；
（3）設直線BD交⊙P于另一點E，求經過E點的⊙P的切線的解析式．

Answer 1

（1）∵軸上的點C（0，-

3

2

），
∴c=-

3

2

，
又∵b=

3

a，AB=2

3

，令ax²+

3

ax-

3

2

=0，|x₁-x₂|=2

3

，
解得：a=

2

3

，b=

2 3

3

；
∴拋物線的解析式是：y=

2

3

x2+

2

3

3

x-

3

2

．（4分）

（2）D（-

3

，-

3

2

），
直線BD為：y=

3

3

x-

1

2

，
連接BP，設⊙P的半徑為R，
R2=(

3

2

)2+(

3

2

-R)2，R=1，P（0，-

1

2

），（7分）
點P的坐標滿足直線BD的解析式y=

3

3

x-

1

2

．
∴直線BD經過圓心P．（8分）

（3）過點E作EF⊥y軸于F，得△OPB≌△FPE，
E（-

3

2

，-1），（9分）
設經過E點⊙P的切線L交y軸于點Q．
則∠PEQ=90°，EF⊥PQ，
∴PE²=PF•PQ，
∴PQ=2，Q（0，-2.5），（11分）
∴切線L為：y=-

3

x-2.5．（12分）