Question

【題目】如圖①，四邊形OABC是矩形，點A的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，6），點P從點O出發，沿線段OA以每秒1個單位長度的速度向點A移動，同時點Q從點A出發，沿線段AB以每秒2個單位長度的速度向點B移動，當點P與點A重合時移動停止．設點P移動的時間為t秒．

（1）當△CBQ與△PAQ相似時，求t的值；

（2）當t＝1時，拋物線y＝x2+bx+c經過P，Q兩點，與y軸交于點M，拋物線的頂點為K，如圖②所示，該拋物線上是否存在點D，使∠MQD＝∠MKQ？若存在，請求出所有滿足條件的點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝或t＝；（2）或．

【解析】

（1）分△QBC∽△PAQ、△CBQ∽△PAQ，兩種情況分別求解；

（2）先證明∠MKE＝∠QKE＝∠MKQ，分①當點D在直線MQ的上方時，②當點D在直線MQ的下方時兩種情況進一步討論即可求解．

（1）如圖①，∵當點P與點A重合時運動停止，且△PAQ可以構成三角形，

∴0＜t＜3．

∵四邊形OABC是矩形，

∴∠B＝∠PAQ＝90°．

∴當△CBQ與△PAQ相似時，存在兩種情況：

①當△QBC∽△PAQ時，

∴，

∴，

∴4t2﹣15t+9＝0．

∴t1＝3（舍），t2＝；

②當△CBQ∽△PAQ時，

∴,

∴，

∴t2﹣9t+9＝0．

∴t1＝，t2＝（舍去），

綜上所述，當△CBQ與△PAQ相似時，t＝或t＝；

（2）當t＝1時，P（1，0），Q（3，2）．

把P（1，0），Q（3，2）代入拋物線y＝x2+bx+c中并解得：

拋物線：y＝x2﹣3x+2．

∴頂點k（，），

連接MQ，

∵Q（3，2），M（0，2），

∴MQ∥x軸，

作拋物線對稱軸，交MQ于E，

∴KM＝KQ．∴KE⊥MQ．

∴∠MKE＝∠QKE＝∠MKQ．設DQ交y軸于H．

當點D在直線MQ的上方時，如圖②所示，

則∠DQM＝∠MKQ＝∠MKE．

∵∠HMQ＝∠MEK＝90°，

∴△HMQ∽△MEK．

∴,

∴,

解得MH＝2．

∴H（0，4）．

∴直線HQ的解析式為y＝﹣x+4．

又∵y＝x2﹣3x+2，

∴x2﹣3x+2＝﹣x+4．

解得x1＝3（舍），x2＝﹣．

∴D（﹣，）；

當點D在直線MQ的下方時，y軸上存在點H，如圖③所示，使∠HQM＝∠MKQ＝∠MKE．

由對稱性得H（0，0），即H與原點重合．

∴直線OQ的解析式y＝x．

又∵y＝x2﹣3x+2，

∴x2﹣3x+2＝x．

解得x1＝3（舍），x2＝．

∴D（，）．

綜上所述，點D的坐標為（﹣，）或（，）．