Question

【題目】已知，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．

（1）如圖1，若AB＝8，點D是AC邊上的中點，求S△BCD；

（2）如圖2，若BD是△ABC的角平分線，請寫出線段AB、AD、BC三者之間的數量關系，并說明理由；

（3）如圖3，若D、E是AC邊上兩點，且AD＝CE，AF⊥BD交BD、BC于F、G，連接BE、GE，求證：∠ADB＝∠CEG．

Answer 1

【答案】（1）16；（2）BC＝AB+AD；（3）見解析

【解析】

（1）根據三角形的中線將三角形分成面積相等的兩個三角形得：S△BCD=S△ABD，因此計算△ABD的面積就是△BCD的面積，代入面積公式計算即可；
（2）如圖2，作輔助線，構建全等三角形，證明△ABD≌△EBD，則AB=EB，AD=DE，再證明△DEC是等腰直角三角形，根據BC=BE+CE可得結論；
（3）如圖3，作輔助線構建全等三角形和直角三角形，證明△ABD≌△CAH，得AD=CH，∠ADB=∠H；得出CE=CH，所以繼續證明△ECG≌△HCG，得∠CEG=∠H，從而得出結論．

（1）如圖1，在Rt△ABC中，AB=AC=8，
∵D是AC的中點，
∴AD=CD=AC=4，
∴S△BCD=S△ABD=ADAB=×8×4=16；
（2）數量關系為：BC=AB+AD．理由如下：
如圖2，過D作DE⊥BC于E，

又∵∠BAC=90°，
∴∠BED=∠BAC=90°，
∵BD是∠ABC的角平分線，
∴∠ABD=∠EBD，
又∵BD=BD，
∴△ABD≌△EBD，
∴AB=EB，AD=DE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，
又∵∠CED=90°，
∴∠CDE=180°-∠CED-∠C=45°=∠C，
∴CE=DE，
又∵AB=EB，AD=DE，
∴BC=BE+CE=AB+DE=AB+AD；

（3）如圖3，過點C作CH⊥AC，交AG的延長線于點H，

又∵∠BAC=90°，
∴∠HCA=∠DAB=90°，
∵∠BAC=90°，AF⊥BD，
∴∠DAF+∠ADF=90°，∠ABD+∠ADF=90°，
∴∠ABD=∠DAF，
又∵AB=AC，∠HCA=∠DAB，
∴△ABD≌△CAH，
∴AD=CH，∠ADB=∠H．
又∵AD=CE，
∴CH=CE．
∵∠ACB=45°，∠ACH=90°，
∴∠BCH=∠ACB=45°，
又∵GC=GC，CH=CE，
∴△ECG≌△HCG，
∴∠CEG=∠H，
又∵∠ADB=∠H，
∴∠ADB=∠CEG．