Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A（﹣1，0）和點C（0，4），交x軸正半軸于點B，連接AC，點E是線段OB上一動點（不與點O，B重合），以OE為邊在x軸上方作正方形OEFG，連接FB，將線段FB繞點F逆時針旋轉90°，得到線段FP，過點P作PH∥y軸，PH交拋物線于點H，設點E（a，0）．

（1）求拋物線的解析式．

（2）若△AOC與△FEB相似，求a的值．

（3）當PH＝2時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）a＝或；（3）點P的坐標為（2，4）或（1，4）或（，4）．

【解析】

（1）點C（0，4），則c＝4，

二次函數表達式為：y＝﹣x2+bx+4，

將點A的坐標代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+3x+4；

（2）tan∠ACO＝＝，

△AOC與△FEB相似，則∠FBE＝∠ACO或∠CAO，

即：tan∠FEB＝或4，

∵四邊形OEFG為正方形，則FE＝OE＝a，

EB＝4﹣a，

則或，

解得：a＝或；

（3）令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故點B（4，0）；

分別延長CF、HP交于點N，

∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，

∴∠FPN＝∠NFB，

∵GN∥x軸，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，

∵∠PNF＝∠BEF＝90°，FP＝FB，

∴△PNF≌△BEF（AAS），

∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4﹣a，

∴點P（2a，4），點H（2a，﹣4a2+6a+4），

∵PH＝2，

即：﹣4a2+6a+4﹣4＝|2|，

解得：a＝1或或或（舍去），

故：點P的坐標為（2，4）或（1，4）或（，4）．