Question

【題目】如圖：AD與⊙O相切于點D，AF經過圓心與圓交于點E、F，連接DE、DF，且EF=6，AD=4．
（1）證明：AD2=AEAF；
（2）延長AD到點B，使DB=AD，直徑EF上有一動點C，連接CB交DF于點G，連接EG，設∠ACB=α，BG=x，EG=y． ①當α=900時，探索EG與BD的大小關系？并說明理由；
②當α=1200時，求y與x的關系式，并用x的代數式表示y．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD

∵AD是⊙O的切線，

∴OD⊥AD，即∠ADE+∠EDO=90°，

∵EF是直徑，

∴∠EDF=90°，即∠EDO+∠ODF=90°，

∴∠ADE=∠ODF，

∵OD=OF，

∴∠ODF=∠OFD，

∴∠ADE=∠OFD，

∴△ADE∽△AFD，

∴ ，

即AD2=AEAF；

（2）解：①當α=90°時，EG＞BD

理由如下：如圖2，取EG的中點H，連接CH、DH、CD，

∵Rt△EDG、Rt△ECG，點H為EG的中點，

∴CH=EH=GH=DH= EG，

∴點C、E、D、G在以點H為圓心，EG為直徑的圓上，

∴EG＞CD，

∵Rt△ABC，DB=AD，

∴CD=DB=AD= AB，

∴EG＞BD；

②當α=120°時，

如圖3，將△ADE繞著點D旋轉180°，得到△BDP，連接GP，過點P作PQ⊥BG，

由（1）AD2=AEAF得：16=AE（AE+6），

解得：AE=2或AE=﹣8（舍去），

∵△ADE≌△BDP

∴ED=DP，AE=BP=2，∠A=∠DBP，

∵∠EDF=90°，

∴DG垂直平分EP，

∴GE=GP=y，

∵∠A+∠ABC=180°﹣120°=60°，

∴∠DBP+∠ABC=60°，即∠GBP=60°，

在Rt△BPQ中，∠GBP=60°，BP=2，

∴BQ=1，PQ= ，

∴GQ=BG﹣BQ=x﹣1，

在Rt△GPQ中，PQ= ，GQ=x﹣1，GP=y，

∴PG2=GQ2+PQ2

即y2=（x﹣1）2+（ ）2，

故y= ．

【解析】（1）直接利用切線的性質得出∠ADE+∠EDO=90°，再利用圓周角定理得出∠ADE=∠ODF，結合相似三角形的判定與性質得出答案；（2）①利用直角三角形的性質得出點C、E、D、G在以點H為圓心，EG為直徑的圓上，進而得出EG與BD的大小關系；②首先得出BQ=1，PQ= ，GQ=BG﹣BQ=x﹣1，進而利用勾股定理求出答案．