Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC，點D是BC的中點，點F在線段AD上，DF=CD，BF交CA于E點，過點A作DA的垂線交CF的延長線于點G，下列結論：①CF2=EFBF；②AG=2DC；③AE=EF；④AFEC=EFEB．其中正確的結論有________

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】根據等邊對等角的性質求出∠DCF=∠DFC，然后求出DF=DB，根據等邊對等角求出∠DBF=∠DFB，然后求出∠BFC是直角，根據直角三角形的性質求出△BCF和△CEF相似，根據相似三角形對應邊成比例列式整理即可得到①正確；根據互余關系求出∠G=∠ACG，再根據等角對等邊的性質求出AG=AC，然后求出AG=BC，然后利用“角角邊”證明△BCE和△AGF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AG=BC，從而判斷②正確；根據角的互余關系可以求出∠EAF+∠ADC=90°，∠AFE+∠DFC=90°再根據∠ADC的正切值為2可知∠ADC≠60°，然后求出∠FDC≠∠DFC，然后求出∠EAF≠∠EFA，從而得到AE≠EF，判斷出③錯誤；根據根據直角三角形的性質求出△CEF和△BCE相似，根據相似三角形的對應邊成比例列式求出EC2=EFEB，再根據全等三角形對應邊相等可得AF=CE，從而判斷出④正確．

解：∵DF=CD，

∴∠DCF=∠DFC，

∵AC=BC，點D是BC的中點，

∴DF=DB=DC，

∴∠DBF=∠DFB，

又∵∠DBF+∠DFB+∠DFC+∠DCF=180°，

∴∠BFC=×180°=90°，

∴CF⊥BE，

∴Rt△BCF∽Rt△CEF，

∴=，

∴CF2=EFBF，故①正確；

∵AG⊥AD，

∴∠G+∠AFG=90°，

又∵∠ACG+∠DCF=90°，∠DCF=∠DFC=∠AFG，

∴∠G=∠ACG，

∴AG=AC，

∵AC=BC，

∴AG=BC，

又∵∠CBE=∠ACG，

∴∠CBE=∠G，

在△BCE和△AGF中，

∵∠GAF=∠BCE=90°，∠CBE=∠G，AG=BC，，

∴△BCE≌△AGF（AAS），

∴AG=BC，

∵點D是BC的中點，

∴BC=2DC，

∴AG=2DC，故②正確；

根據角的互余關系，∠EAF+∠ADC=90°，∠AFE+∠DFC=90°，

∵tan∠ADC=2，

∴∠ADC≠60°，

∵∠DCF=∠DFC，

∴∠FDC≠∠DFC，

∴∠EAF≠∠EFA，

∴AE≠EF，故③錯誤；

∵∠ACB=90°，CF⊥BE，

∴△CEF∽△BCE，

∴=，

∴EC2=EFEB，

∵△BCE≌△AGF（已證），

∴AF=EC，

∴AFEC=EFEB，故④正確；

所以，正確的結論有①②④．

“點睛”本題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，根據等角對等邊以及等邊對等角的性質求出AG=AC，然后證明△BCE和△AGF全等是證明的關鍵，也是本題的難點．