Question

【題目】如圖，二次函數y＝ax2﹣4ax（a≠0）的圖象與直線y＝kx+3交于點A（﹣1，）、點C兩點．

（1）求a，k的值；

（2）點P在第一象限的拋物線上，其橫坐標為t，連接PC、PA，設△PCA的面積為S，求S關于t的函數關系式：（直接寫出t的取值范圍）

（3）在（2）的條件下，作CE⊥x軸于E，點P直線y＝kx+3下方時，連接OP、BC交于D，連接ED，當∠ODE＝90°時，求t和S的值．

Answer 1

【答案】（1）a＝，k＝；(2)S＝,（4＜t＜6）或,( t＞6)； (3)解得t=5，S=.

【解析】

(1)將A（－1，）代入二次函數y=ax2-4ax（a≠0）與直線y=kx+3中，可得a，k的值;

(2)分P點再BC中，與BC右側兩種情況討論計算可得答案；

（3）由∠ODE=90°，=-1，可得方程D點坐標，計算可得t，s的值.

解：（1）將A（－1，）代入二次函數y=ax2-4ax（a≠0）與直線y=kx+3；

可得：a＝，k＝；

（2）易得B點坐標（4，0），聯立二次函數y=，與一次函數y=，可得

C點坐標（6，6），

如圖

當P點再BC中間時候，橫坐標為t，（4＜t＜6），可得P(t，)，D(t，)

=-()=，

過點P做AC的垂線垂足為D，過A點做DP的垂線，設垂線長為，過C點做DP的垂線, 垂線長為,可得==7,

= （）= （）7=,（4＜t＜6）；

如圖，

同理，當P點再C右側時，即t＞6時，

同理過點PD⊥x軸，交AC與D點，過點C做垂線垂直PD，垂線長為，過A點做垂線垂直PD，垂線長為，易得==7，=-()=,

易得：= （）=,( t＞6)

（3）如圖

易得：E點坐標（6，0），B點（4，0），

可得BC直線的方程：y=3x-12，

設D點坐標為（x，3x-12），4＜x＜6，由∠ODE=90°，

可得=-1，可得，，

化簡得：;

可得：=3（舍去），=，

可得：D點坐標（，）

可得OD的方程為y=，

聯立OD與二次函數的方程可得：

可得x=5，即t=5，

代入=,可得S=,

故答案：t=5，s=.