Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，延長BC至E點，使CE＝BC，點P是AD邊上的動點，以cm/s的速度從D點到A點方向運動，連接AC、CP、DE．

（1）若AD=，運動時間為t，當四邊形PCED為平行四邊形時，求t的值；

（2）M是CP的中點，PF⊥AC，垂足為F，PG⊥CD，垂足為G，連接MF，MG，求證：∠GMF=2∠ACD.

（3）在（2）的條件下，若∠B=75°，∠ACB=45°，AC=，連接GF，求△MGF周長的最小值.

Answer 1

【答案】（1）2s；（2）見解析.（3）（3+6）cm.

【解析】

（1）根據平行四邊形的性質得到PD=CE=AD，即可求出t；

（2）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到FC=CM=PM,得到∠PMF=2∠PCF，同理得到∠PMG=2∠PCG，即可證明.

(3)過點M作MN⊥FG于N，有等腰三角形的性質可得MN= MF，NG=FN= MN= MF，即可得△MGF周長= PC，當PC取最小時，△MGF周長有最小值，有直角三角形的性質可求△MGF周長最小值.

（1）∵四邊形PCED為平行四邊形

∴PD=CE

∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴PD=CE=AD=2

故t=2，

解得t=2s;

(2)∵PF⊥AC,∴△PFC為直角三角形，

∵M是PC的中點，

∴FM==PM=CM,

∴∠MFC=∠MCF，

∴∠PMF=∠MFC+∠MCF =2∠PCF，

∵PG⊥CD，

同理可得∠PMG=2∠PCG，

∴GMF=∠PMF+∠PMG=2∠PCF+2∠PCG=2（∠PCF∠PCG）=2∠ACD，

即∠GMF=2∠ACD.

(3) 如圖，過點M作MN⊥FG于N，

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴∠B=∠ADC=75°，AD//BC

∴∠ADC+∠BCD=180°，∠DAC=∠ACB=45°

∴∠BCD=105°

∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=60°

∴∠GMF=120°，且FM=MG

∴∠MGF=∠MFG=30°，且MN⊥FG，FM=MG

∴MN= MF，NG=FN= MN= MF

∵△MGF周長=FG+MF+MG=（+2）MF= PC

∴當PC取最小時，△MGF周長有最小值

∴當PC⊥AD時，PC有最小值

∴此時，∠DAC=45°，PCLAD，AC=6 cm，PC=6

∴△MGF周長最小值=（3+6）cm