Question

【題目】對于二次函數y=x2-3x+2和一次函數y=-2x+4，把y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）稱為這兩個函數的“再生二次函數”，其中t是不為零的實數，其圖象記作拋物線E．
現有點A（2，0）和拋物線E上的點B（-1，n），請完成下列任務：

（1）【嘗試】
①當t=2時，拋物線E的頂點坐標是.
②點A拋物線E上；（填“在”或“不在”），
③n=.
（2）【發現】通過②和③的演算可知，對于t取任何不為零的實數，拋物線E總過定點，這個定點的坐標是.
（3）【應用1】二次函數y=-3x2+5x+2是二次函數y=x2-3x+2和一次函數y=-2x+4的一個“再生二次函數”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由．
（4）【應用2】以AB為一邊作矩形ABCD，使得其中一個頂點落在y軸上，若拋物線E經過點A、B、C，求出所有符合條件的t的值．

Answer 1

【答案】
（1）（1,-2）,在,6
（2）（2,0）、（-1,6）
（3）解：將x=2代入y=-3x2+5x+2，y=0，即點A在拋物線上．

將x=-1代入y=-3x2+5x+2，計算得：y=-6≠6，

即可得拋物線y=-3x2+5x+2不經過點B，

二次函數y=-3x2+5x+2不是二次函數y=x2-3x+2和一次函數y=-2x+4的一個“再生二次函數”

（4）解：如圖，作矩形ABC1D1和ABC2D2，過點B作BK⊥y軸于點K，過B作BM⊥x軸于點M，

易得AM=3，BM=6，BK=1，△KBC1∽△MBA，

則：

即

求得 C 1，K=

所以點C1（0， ）．

易知△KBC1≌△GAD1，得AG=1，GD1= ，

∴點D1（3， ）．

易知△OAD2∽△GAD1， ，

由AG=1，OA=2，GD1= ，

求得 OD2=1，

∴點D2（0，-1）．

易知△TBC2≌△OD2A，得TC2=AO=2，BT=OD2=1，

所以點C2（-3，5）．

∵拋物線E總過定點A（2，0）、B（-1，6），

∴符合條件的三點可能是A、B、C或A、B、D

當拋物線E經過A、B、C1時，將C1（0， ）代入y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4），求得t1=- ；

當拋物線E經過A、B、D1，A、B、C2，A、B、D2時，可分別求得t2= ，t3=- ，t4= ．

∴滿足條件的所有t的值為：- ； ，- ，

【解析】解：（1）【嘗試】①將t=2代入拋物線E中，得：y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=2x2-4x=2（x-1）2-2，

∴此時拋物線的頂點坐標為：（1，-2）．

②將x=2代入y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得 y=0，

∴點A（2，0）在拋物線E上．

③將x=-1代入拋物線E的解析式中，得：

n=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=6．（2）【發現】將拋物線E的解析式展開，得：

y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=t（x-2）（x+1）-2x+4

∴拋物線E必過定點（2，0）、（-1，6）．