Question

【題目】如圖，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分線分別交AC、AD于E、F兩點，M為EF的中點，延長AM交BC于點N，連接DM，NE．下列結論：①AE＝AF；②AM⊥EF；③△AEF是等邊三角形；④DF＝DN，⑤AD∥NE．其中正確的結論有（　　）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據等腰直角三角形的性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半以及角平分線的性質計算得出∠ABE＝∠CBE＝22.5°，∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，結合等腰三角形的性質可判斷①②③；利用ASA證明△FBD≌△NAD，判斷④；利用SAS證明△EBA≌△EBN，判斷⑤；從而得到結論.

∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，

∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°，

∴∠BAD＝45°＝∠CAD，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°，

∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，

∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，

∴AF＝AE，故①正確；③錯誤，

∵M為EF的中點，

∴AM⊥EF，故②正確；

∵AM⊥EF，

∴∠AMF＝∠AME＝90°，

∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，

在△FBD和△NAD中，

，

∴△FBD≌△NAD（ASA），

∴DF＝DN，故④正確；

∵∠BAM＝∠BNM＝67.5°，

∴BA＝BN，

∵∠EBA＝∠EBN，BE＝BE，

∴△EBA≌△EBN（SAS），

∴∠BNE＝∠BAM＝90°，

∴∠ENC＝∠ADC＝90°，

∴AD∥EN．故⑤正確，

綜上：①②④⑤正確，共4個，

故選：D．