Question

【題目】如圖1，給定一個正方形，要通過畫線將其分割成若干個互不重疊的正方形．第1次畫線分割成4個互不重疊的正方形，得到圖2；第2次畫線分割成7個互不重疊的正方形，得到圖3……以后每次只在上次得到圖形的左上角的正方形中畫線．

嘗試：第3次畫線后，分割成　　　　個互不重疊的正方形；

第4次畫線后，分割成　　　　個互不重疊的正方形．

發現：第n次畫線后，分割成　　　　個互不重疊的正方形；并求第2020次畫線后得到互不重疊的正方形的個數．

探究：若干次畫線后，能否得到1001個互不重疊的正方形？若能，求出是第幾次畫線后得到的；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】嘗試：10，13；發現：(3n＋1)，6061；探究：不能，理由見解析．

【解析】

嘗試：利用前幾次發現的規律：1×4-0，2×4-1，3×4-2，…解答即可；
發現：由“嘗試”的規律，寫出經過n次分割后的式子，整理即可，把n=2020代入整理后的式子中即可求解；
探究：利用“發現”中的式子建立方程即可解決問題．

嘗試：第一次1×4-0=4張，
第二次2×4-1=7張，
第三次3×4-2=10張，
第四次4×4-3=13張；
故答案為：10， 13；

發現：由“嘗試”可知經過次分割后，共得到張紙片；

當n=2020時，3n+1=6061，

即第2020次畫線后得到互不重疊的正方形的個數是6061，

故答案為：(3n+1)，6061；

探究：不能．

設每次畫線后得到互不重疊的正方形的個數為m，則m=3n+1．

若m=1001，則1001=3n+1．解得．

這個數不是整數，所以不能．