Question

【題目】在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90度，D是AC邊上的動點，連結BD，E、F分別是AB、BC上的點，且DE⊥DF．、（1）如圖1，若D為AC邊上的中點．

（1）填空：∠C＝　 　，∠DBC＝　 　；

（2）求證：△BDE≌△CDF．

（3）如圖2，D從點C出發，點E在PD上，以每秒1個單位的速度向終點A運動，過點B作BP∥AC，且PB＝AC＝4，點E在PD上，設點D運動的時間為t秒（0≤1≤4）在點D運動的過程中，圖中能否出現全等三角形？若能，請直接寫出t的值以及所對應的全等三角形的對數，若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）45°，45°；（2）見解析；（3）當t＝0時，△PBE≌△CAE一對，當t＝2時，△AED≌△BFD，△ABD≌△CBD，△BED≌△CFD共三對，當t＝4時，△PBA≌△CAB一對．

【解析】

（1）利用等腰直角三角形的性質得出答案；

（2）利用等腰直角三角形的性質結合ASA進而得出答案；

（3）當t＝0時，t＝2時，t＝4時分別作出圖形，得出答案．

（1）解：∵在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90度，D為AC邊上的中點，

∴∠C＝45°，BD⊥AC，

∴∠DBC＝45°；

故答案為：45°；45°；

（2）證明：在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D為AC邊上的中點，

∴BD⊥AC，

又∵ED⊥DF，

∴∠BDE+∠BDF=∠CDF+∠BDF=90°，

∴∠BDE＝∠CDF，

∵∠C＝∠DBC＝45°，

∴BD＝DC，∠EBD=90°-∠DBC=45°，

在△BDE和△CDF中，

，

∴△BDE≌△CDF（ASA）；

（3）解：如圖①所示：當t＝0時，△PBE≌△CAE一對；

理由：∵BP∥AC

∴∠P=∠ACE

在△PBE和△CAE中，

∴△PBE≌△CAE（AAS）

如圖②所示：當t＝2時，△AED≌△BFD，△ABD≌△CBD，△BED≌△CFD共三對；

理由：在△ABD和△CBD中，

∴△ABD≌△CBD（SSS）

由（2）可知∠ADE+∠BDE=∠BDF+∠BDE，

∴∠ADE=∠BDF

在△AED和△BFD中，

∴△AED≌△BFD（ASA）

同理可證△BED≌△CFD.

如圖③所示：當t＝4時，△PBA≌△CAB一對．

理由：∵PB∥AC，

∴∠PBA=∠CAB，

在△PBA和△CAB中，

∴△PBA≌△CAB（SAS）

綜上所述，答案為：

當t＝0時，△PBE≌△CAE一對，當t＝2時，△AED≌△BFD，△ABD≌△CBD，△BED≌△CFD共三對，當t＝4時，△PBA≌△CAB一對．