Question

【題目】如圖，AB為⊙O直徑，P點為半徑OA上異于O點和A點的一個點，過P點作與直徑AB垂直的弦CD，連接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E點，連接AE、DE、AE交CD于F點．

（1）求證：DE為⊙O切線；

（2）若⊙O的半徑為3，sin∠ADP=，求AD；

（3）請猜想PF與FD的數量關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2；（3）PF=FD，證明見解析.

【解析】（1）如圖1，連接OD、BD，根據圓周角定理得：∠ADB=90°，則AD⊥BD，OE⊥BD，由垂徑定理得：BM=DM，證明△BOE≌△DOE，則∠ODE=∠OBE=90°，可得結論；

（2）設AP=a，根據三角函數得：AD=3a，由勾股定理得：PD=2a，在直角△OPD中，根據勾股定理列方程可得：32=（3-a）2+（2a）2，解出a的值可得AD的值；

（3）先證明△APF∽△ABE，得，由△ADP∽△OEB，得，可得PD=2PF，可得結論．

詳證明：（1）如圖1，連接OD、BD，BD交OE于M，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，AD⊥BD，

∵OE∥AD，

∴OE⊥BD，

∴BM=DM，

∵OB=OD，

∴∠BOM=∠DOM，

∵OE=OE，

∴△BOE≌△DOE（SAS），

∴∠ODE=∠OBE=90°，

∴DE為⊙O切線；

（2）設AP=a，

∵sin∠ADP=，

∴AD=3a，

∴PD=，

∵OP=3-a，

∴OD2=OP2+PD2，

∴32=（3-a）2+（2a）2，

9=9-6a+a2+8a2，

a1=，a2=0（舍），

當a=時，AD=3a=2，

∴AD=2；

（3）PF=FD，

理由是：∵∠APD=∠ABE=90°，∠PAD=∠BAE，

∴△APF∽△ABE，

∴，

∴PF=，

∵OE∥AD，

∴∠BOE=∠PAD，

∵∠OBE=∠APD=90°，

∴△ADP∽△OEB，

∴，

∴PD=，

∵AB=2OB，

∴PD=2PF，

∴PF=FD．