Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為x＝﹣1，且拋物線經過 A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸交于點B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸x＝﹣1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求此時點M的坐標；

（3）設點P為拋物線對稱軸x＝﹣1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）當點M的坐標為（﹣1，2）時，點M到點A和點C的距離之和最小；（3）P（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．

【解析】

（1）根據對稱軸公式及A、C兩點坐標代入即可求出拋物線的解析式；

（2）根據兩條線段之和最短時的作圖方法找到M即可，然后利用B、C的坐標求出直線BC的解析式，利用BC和對稱軸即可求出M的坐標；

（3）設P（﹣1，t），根據平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式，即可表示出CB2，PB2和PC2，然后根據直角頂點分類討論，利用勾股定理求t即可.

解：（1）根據題意得：，解得：，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）點A的對稱點為B，連接BC，直線BC與對稱軸x＝﹣1的交點為M，則此時AM+MC的值最小．

∵點A與點B關于x＝﹣1對稱，A（1，0），

∴B（﹣3，0）．

設BC的解析式為y＝mx+n，將點B和點C的坐標代入得：，解得：m＝1，n＝3．

∴直線BC的解析式為y＝x+3．

將x＝﹣1代入y＝x+3得：y＝2，

∴M（﹣1，2）．

∴當點M的坐標為（﹣1，2）時，點M到點A和點C的距離之和最小．

（3）設P（﹣1，t）．

∵P（﹣1，t），B（﹣3，0），C（0，3），

∴CB2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝t2+4，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10．

①當點B為直角頂點時，則BC2+PB2＝PC2，即18+t2+4＝t2﹣6t+10，解得t＝﹣2，

∴P（﹣1，﹣2）．

②當點C為直角頂點時，BC2+PC2＝PB2，即18+t2﹣6t+10＝t2+4，解得t＝4，

∴P（﹣1，4）．

③當點P為直角頂點時，PC2+PB2＝BC2，即t2+4+t2﹣6t+10＝18，解得：t＝或t＝，

∴P（﹣1，）或（﹣1，）．

綜上所述，點P的坐標為P（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．