Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=BD．點E、F分別在AB、AD上，且AE=DF．連接BF與DE相交于點G，連接CG與BD相交于點H．下列結論：①△AED≌△DFB； ②S四邊形BCDG=CG2；③DE=CG；④若AF=2DF，則BG=6GF．其中正確的結論_____________．

Answer 1

【答案】1 2 4

【解析】分析：（1）由已知條件易得∠A=∠BDF=60°，結合BD=AB=AD，AE=DF，即可證得△AED≌△DFB，從而說明結論①正確；（2）由已知條件可證點B、C、D、G四點共圓，從而可得∠CDN=∠CBM，如圖，過點C作CM⊥BF于點M，過點C作CN⊥ED于點N，結合CB=CD即可證得△CBM≌△CDN，由此可得S四邊形BCDG=S四邊形CMGN=2S△CGN，在Rt△CGN中，由∠CGN=∠DBC=60°，∠CNG=90°可得GN=CG，CN=CG，由此即可求得S△CGN=CG2，從而可得結論②是正確的；（3）由已知易得△ADE中，∠AED>∠A=60°，從而可得AD>DE；在△DCG中，∠CDG>∠CGD=60°，從而可得CG>DC；結合AD=CD即可得到CG>DE，從而說明結論③錯誤；（4）過點F作FK∥AB交DE于點K，由此可得△DFK∽△DAE，△GFK∽△GBE，結合AF=2DF和相似三角形的性質即可證得結論④成立.

詳解：

（1）∵四邊形ABCD是菱形，BD=AB，

∴AB=BD=BC=DC=DA，

∴△ABD和△CBD都是等邊三角形，

∴∠A=∠BDF=60°，

又∵AE=DF，

∴△AED≌△DFB，即結論①正確；

（2）∵△AED≌△DFB，△ABD和△DBC是等邊三角形，

∴∠ADE=∠DBF，∠DBC=∠CDB=∠BDA=60°，

∴∠GBC+∠CDG=∠DBF+∠DBC+∠CDB+∠GDB=∠DBC+∠CDB+∠GDB+∠ADE=∠DBC+∠CDB+∠BDA=180°，

∴點B、C、D、G四點共圓，

∴∠CDN=∠CBM，

如下圖，過點C作CM⊥BF于點M，過點C作CN⊥ED于點N，

∴∠CDN=∠CBM=90°，

又∵CB=CD，

∴△CBM≌△CDN，

∴S四邊形BCDG=S四邊形CMGN=2S△CGN，

∵在Rt△CGN中，∠CGN=∠DBC=60°，∠CNG=90°

∴GN=CG，CN=CG，

∴S△CGN=CG2，

∴S四邊形BCDG=2S△CGN，=CG2，即結論②是正確的；

（3）∵在△ABD是等邊三角形，

∴∠A=60°，∠AED>∠ABD=60°，

∴∠AED>∠A，

∴DE<AD，

同理，在△DGC中：∠GDC>∠DGC，

∴CG>CD，

∵AD=CD，

∴DE<CG，即結論③錯誤；

（4）如下圖，過點F作FK∥AB交DE于點K，

∴△DFK∽△DAE，△GFK∽△GBE，

∴，，

∵AF=2DF，

∴，

∵AB=AD，AE=DF，AF=2DF，

∴BE=2AE，

∴，

∴BG=6FG，即結論④成立.

綜上所述，本題中正確的結論是：

故答案為：①②④.