Question

【題目】如圖，在矩形中，的平分線交于點, 于點,連接并延長交于點,連接交于點,下列結論：

①；②；③；④；⑤,

其中正確的有__________（只填序號）.

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①根據角平分線的定義可得∠BAE=∠DAE=45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得AE=AB，從而得到AE=AD，然后利用“角角邊”證明△ABE和△AHD全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE=DH，再根據等腰三角形兩底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根據平角等于180°求出∠CED=67.5°，從而判斷出①正確；②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根據等角對等邊可得OE=OD=OH，判斷出②正確；③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角邊角”證明△BEH和△HDF全等，根據全等三角形對應邊相等可得BH=HF，判斷出③正確；④根據全等三角形對應邊相等可得DF=HE，然后根據HE=AE-AH=BC-CD，BC-CF =BC-（CD-DF）=2HE，判斷出④正確；⑤判斷出△ABH不是等邊三角形，從而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到⑤錯誤．

∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE=45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AE=AB，

∵AD=AB，

∴AE=AD，

在△ABE和△AHD中，

∵∠BAE＝∠DAE,

∠ABE＝∠AHD＝90°,

AE＝AD，

∴△ABE≌△AHD（AAS），

∴BE=DH，

∴AB=BE=AH=HD，

∴∠ADE=∠AED=（180°-45°）=67.5°，

∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°，

∴∠AED=∠CED，故①正確；

∵AB=AH，

∵∠AHB=（180°-45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（對頂角相等），

∴∠OHE=67.5°=∠AED，

∴OE=OH，

∵∠DHO=90°-67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°-45°=22.5°，

∴∠DHO=∠ODH，

∴OH=OD，

∴OE=OD=OH，故②正確；

∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°，

∴∠EBH=∠OHD，

在△BEH和△HDF中，

∵∠EBH＝∠OHD＝22.5°,

BE＝DH,

∠AEB＝∠HDF＝45°，

∴△BEH≌△HDF（ASA），

∴BH=HF，HE=DF，故③正確；

∵HE=AE-AH=BC-CD，

∴BC-CF=BC-（CD-DF）=BC-（CD-HE）

=（BC-CD）+HE=HE+HE=2HE．故④正確；

∵AB=AH，∠BAE=45°，

∴△ABH不是等邊三角形，

∴AB≠BH，

∴即AB≠HF，故⑤錯誤；

綜上所述，結論正確的是①②③④．

故答案為：①②③④．