Question

【題目】若二次函數的圖象與x軸的兩個交點和頂點構成等邊三角形，則稱這樣的二次函數的圖象為標準拋物線．如圖，自左至右的一組二次函數的圖象T1，T2，T3……是標準拋物線，且頂點都在直線y=x上，T1與x軸交于點A1(2，0)，A2(A2在A1右側)，T2與x軸交于點A2，A3，T3與x軸交于點A3，A4，……，則拋物線Tn的函數表達式為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

設拋物線T1，T2，T3…的頂點依次為B1，B2，B3…，連接A1B1，A2B1，A2B2，A3B2，A3B3，A4B3…，過拋物線各頂點作x軸的垂線，由△A1B1A2是等邊三角形，結合頂點都在直線y=x上，可以求出，A2(4，0)，進而得到T1的表達式：，同理，依次類推即可得到結果．

解：設拋物線T1，T2，T3…的頂點依次為B1，B2，B3…，連接A1B1，A2B1，A2B2，A3B2，A3B3，A4B3…，過拋物線各頂點作x軸的垂線，如圖所示：

∵△A1B1A2是等邊三角形，

∴∠B1A1A2=60°，

∵頂點都在直線y=x上，設，

∴OC1=m，，

∴，

∴∠B1OC1=30°，

∴∠OB1A1=30°，

∴OA1=A1B1=2=A2B1，

∴A1C1=A1B1cos60°=1，

，

∴OC1=OA1+A1C1=3，

∴，A2(4，0)，

設T1的解析式為：，

則，

∴，

∴T1：，

同理，T2的解析式為：，

T3的解析式為：，

…

則Tn的解析式為：，

故答案為：．