Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，點F是BC延長線上一點，以CF為邊作菱形CDEF，使菱形CDEF與點A在BC的同側，連接BE，點G是BE的中點，連接AG、DG．

（1）如圖①，當∠BAC=∠DCF=90°時，AG與DG的位置關系為________，數量關系為________；

（2）如圖②，當∠BAC=∠DCF=60°時，AG與DG的位置關系為________，數量關系為________，請證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）AG⊥GD，AG=GD；（2）AG⊥GD，AG=DG．證明見解析．

【解析】

（1）延長DG與BC交于H，連接AH、AD，通過證得△BGH≌△EGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后證得△ABH≌△ACD，得出∠BAH=∠CAD，AH=AD，進而求得∠HAD=90°，即可求得AG⊥GD，AG=GD；

（2）延長DG與BC交于H，連接AH、AD，通過證得△BGH≌△EGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后證得△ABH≌△ACD，得出∠BAH=∠CAD，AH=AD，進而求得△HAD是等邊三角形，即可證得AG⊥GD，AG=DG．

（1）AG⊥DG，AG=DG，

證明：延長DG與BC交于H，連接AH、AD，

∵四邊形CDEF是正方形，

∴DE=DC，DE∥CF，

∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，

∵G是BE的中點，

∴BG=EG，

在△BGH和△EGD中

∴△BGH≌△EGD（AAS），

∴BH=ED，HG=DG，

∴BH=DC，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵∠DCF=90°，

∴∠DCB=90°，

∴∠ACD=45°，

∴∠ABH=∠ACD=45°，

在△ABH和△ACD中

∴△ABH≌△ACD（SAS），

∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，

∵∠BAH+∠HAC=90°，

∴∠CAD+∠HAC=90°，即∠HAD=90°，

∴AG⊥GD，AG=GD；

故答案為：AG⊥DG，AG=DG；

（2）AG⊥GD，AG=DG；

證明：延長DG與BC交于H，連接AH、AD，

∵四邊形CDEF是菱形，

∴DE=DC，DE∥CF，

∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，

∵G是BE的中點，

∴BG=EG，

在△BGH和△EGD中

∴△BGH≌△EGD（AAS），

∴BH=ED，HG=DG，

∴BH=DC，

∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=60°，

∴∠ABC=60°，∠ACD=60°，

∴∠ABC=∠ACD=60°，

在△ABH和△ACD中

∴△ABH≌△ACD（SAS），

∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，

∴∠BAC=∠HAD=60°；

∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=30°，

∴，

∴．

故答案為：AG⊥GD，AG=DG．