Question

【題目】如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標軸上，點B坐標為（6，6），將正方形ABCO繞點C逆時針旋轉角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交線段AB于點G，ED的延長線交線段OA于點H，連CH、CG．

（1）求證：△CBG≌△CDG；
（2）求∠HCG的度數；并判斷線段HG、OH、BG之間的數量關系，說明理由；
（3）連結BD、DA、AE、EB得到四邊形AEBD，在旋轉過程中，當G點在何位置時四邊形AEBD是矩形？請說明理由并求出點H的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵將正方形ABCO繞點C逆時針旋轉角度α，

∴DC=CO，∠CDG=∠COA=90°，

∵四邊形OCBA是正方形，

∴CB=CO，∠B=90°，

∴CB=CD，∠B=∠CDG=90°

在Rt△CDG與Rt△CBG中，

，

∴Rt△CDG≌Rt△CBG

（2）

解：∵∠CDG=90°，

∴∠CDH=90°，

在Rt△COH與Rt△CDH中，

，

∴Rt△COH≌Rt△CDH，

∴∠OCH=∠DCH，HO=DH，

∵Rt△CDG≌Rt△CBG，

∴∠DCG=∠BCG，DG=BG，

∴∠HCG=∠DCG+∠DCH=45°，

HG=HD+DG=HO+BG

（3）

解：當G是AB中點時，四邊形ADBE是矩形，

∵G是AB中點，

∴BG=AG= AB

由（2）得DG=BG，

又∵AB=DE，

∴DG= DE，

∴DG=GE=BG=AG，

∴四邊形AEBD是平行四邊形，

∵AB=DE，

∴□ADBE是矩形，

設點H的坐標為（x，0），

則HO=HD=x，DG=BG=AG=3，AH=6﹣x，

由勾股定理得，（6﹣x）2+33=（3+x）2，

解得，x=2，

∴H（2，0）．

【解析】（1）根據旋轉變換的性質得到DC=CO，∠CDG=∠COA=90°，根據正方形的性質得到CB=CO，∠B=90°，根據直角三角形的全等的判定定理證明即可；（2）證明Rt△COH≌Rt△CDH，得到∠OCH=∠DCH，HO=DH，等量代換即可；（3）根據矩形的判定定理證明四邊形AEBD是矩形，設點H的坐標為（x，0），根據勾股定理列出方程，解方程求出x的值，得到點H的坐標．