Question

7．如圖，點P是等邊△ABC外一點，PA=3，PB=4，PC=5
（1）將△APC繞點A逆時針旋轉60°得到△P₁AC₁，畫出旋轉后的圖形；
（2）在（1）的圖形中，求∠APB的度數．

Answer 1

分析 （1）將△APC繞點A逆時針旋轉60°得到△P₁AC₁如圖所示．
（2）只要證明△APP₁是等邊三角形，由PB²+PP₁²=P₁B²，推出∠P₁PB=90°，即可解決問題．

解答 解：（1）將△APC繞點A逆時針旋轉60°得到△P₁AC₁，如圖所示，

 
（2）∵△AP₁C₁是由△APC旋轉所得，
∴△AP₁C₁≌△APC，
∴P₁C₁=PC=5，AP=AP₁=3，∠PAP₁=60°，
∴△APP₁是等邊三角形，
∴PP₁=AP=3，∠APP₁=60°，
∵PB=4，P₁B=5，PP₁=3，
∴PB²+PP₁²=P₁B²，
∴∠P₁PB=90°
∴∠APB=∠BPP₁-∠APP₁=30°．

點評 本題考查等邊三角形的性質、旋轉變換、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用旋轉變換添加輔助線，構造全等三角形，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考常考題型．