Question

【題目】如圖所示，BD為⊙O的直徑，且BD＝8，是圓周的，A為上任意一點，取AC＝AB，交BD的延長線于C，連結OA，并作AE⊥BD于E，設AB＝x，CD＝y．

（1）寫出y關于x的函數關系式；

（2）當x為何值時，CA是⊙O的切線？

（3）當CA與⊙O相切時，求tan∠OAE的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣8，（4≤x≤8）；（2）當x＝4時，CA是⊙O的切線；（3）tan∠OAE＝．

【解析】

（1）先證△AOB∽△BAC得，即據此可得函數關系式，由A為MD上任意一點知BM≤AB≤BD，據此可得x的取值范圍；
（2）由OA⊥CA時CA是⊙O的切線，據此知OC2=OA2+AC2，從而得出y2+8y=x2，結合函數關系式列方程組求解可得；
（3）由（2）知x=4，y=4時，CA是⊙O的切線，再求得OE=BE-BO=2，AE= ，根據正切函數的定義計算可得．

（1）∵OA＝OB，AB＝AC，

∴∠ABO＝∠BAO＝∠C，

∴△AOB∽△BAC，

∴，即，

∴y＝x2﹣8；

∵A為MD上任意一點，

∴BM≤AB≤BD，

∵BM＝，BD＝8，

∴4≤x≤8，

∴y＝x2﹣8（4≤x≤8）；

（2）若OA⊥CA，則CA是⊙O的切線，

∴OC2＝OA2+AC2，即（4+y）2＝42+x2，即y2+8y＝x2，

由可得y＝4，

∴x＝4，

∴當x＝4時，CA是⊙O的切線；

（3）由（2）知x＝4，y＝4時，CA是⊙O的切線，

∴OE＝BE﹣BO＝×（8+4）﹣4＝2，AE＝，

∴tan∠OAE＝．