Question

已知點P的坐標為（m，0），在x軸上存在點Q（不與P點重合），以PQ為邊作正方形PQMN，使點M落在反比例函數y=-

2

x

的圖象上．小明對上述問題進行了探究，發現不論m取何值，符合上述條件的正方形只有兩個，且一個正方形的頂點M在第四象限，另一個正方形的頂點M₁在第二象限．
（1）如圖所示，若反比例函數解析式為y=-

2

x

，P點坐標為（1，0），圖中已畫出一符合條件的一個正方形PQMN，請你在圖中畫出符合條件的另一個正方形PQ₁M₁N₁，并寫出點M₁的坐標；M₁的坐標是

 

．
（2）請你通過改變P點坐標，對直線M₁M的解析式y﹦kx+b進行探究可得k﹦

 

，若點P的坐標為（m，0）時，則b﹦

 

；
（3）依據（2）的規律，如果點P的坐標為（6，0），請你求出點M₁和點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據要求，畫出符合條件的另一個正方形PQ₁M₁N₁，即可寫出點M₁的坐標；
（2）由于四邊形PQMN與四邊形PQ₁M₁N₁都是正方形，結合圖象分析，可得出M₁、P、M三點共線，再求得直線M₁M的斜率，代入P點坐標，求得b=m；
（3）依據（2）的規律，如果點P的坐標為（6，0），則直線M₁M的解析式為y=-x+6，又點M（x，y）在反比例函數y=-

2

x

的圖象上，故x•（-x+6）=-2，解此方程，求出x的值，進而得出點M₁和點M的坐標．

解答：解：（1）如圖，畫出符合條件的另一個正方形PQ₁M₁N₁，
則容易看出M₁的坐標為（-1，2）；

（2）由于四邊形PQMN與四邊形PQ₁M₁N₁都是正方形，
則∠MPN=∠Q₁PM₁=45°，∠Q₁PN=90°，∴∠M₁PM=180°，
∴M₁、P、M三點共線，由tan∠Q₁PM₁=1，
可知不管P點在哪里，k﹦-1；
把x=m代入y=-x+b，得b=m；

（3）由（2）知，直線M₁M的解析式為y=-x+6，
則M（x，y）滿足x•（-x+6）=-2，
解得x₁=3+

11

，x₂=3-

11

，
∴y₁=3-

11

，y₂=3+

11

．
∴M₁，M的坐標分別為（3-

11

，3+

11

），（3+

11

，3-

11

）．

點評：此題綜合考查了反比例函數的性質，正方形等多個知識點．此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應用．