Question

【題目】如圖，△ABC中，AE⊥BC于E，點D在∠ABC的平分線上，AC與BD交于F，連CD，∠ACD+2∠ACB=180°，AB=2EC，BD=2，BE=3，則AF=______．

Answer 1

【答案】

【解析】

延長AC至G，使CG=DC，構造連接△DCB≌△GCB（SAS），過A作AP∥BG交BC的延長線于P，連接AD，由M是中點、AE⊥BC，AB=2CE，BD是∠ABC的平分線，可得∠ABD=∠MCB=∠DBC=∠PBG=∠P=α，MC∥BG∥AP，從而AC=CG，BC=CP、BG=AP，由此得到△ACD是等腰三角形，由∠ACD+2∠ACB=180°進一步得到AD∥BC，AD=AP，由勾股定理計算AC、EC的長，再由平行線分線段成比例可得AF長．

解：取AB中點M．連接ME、MC，

∵BD平分∠ABC，

∴設∠ABD=∠CBD=α，

∵AE⊥BC，AB=2CE，

∴ME=BM=EC，

∴∠ABC=∠MEB，∠EMC=∠CME，

∴∠ABC═∠MEB=2∠MCB=2α

∴設CE=x，則AB=2x，

延長AC至G，使CG=DC，連接BG，過A作AP∥BG交BC的延長線于P，

∵∠ACD+2∠ACB=180°，

∴∠BCD=180°-∠ACB，

∵∠BCG+∠ACB=180°，

∴∠BCD=∠BCG，

∵BC=BC，

∴△DCB≌△GCB（SAS），

∴BG=BD，

∴∠CBD=∠CBG=α，

又∵∠MCB=α

∴MC∥BG∥AP，

又∵M是AB的中點，

∴AC=CG，BC=PC,

∴△ACP≌△GCB（SAS），

∴BG=AP，AC=CD，

∴∠DAC=∠ADC，

∴2∠CAD+∠ACD=180°，

又∵∠ACD+2∠ACB=180°，

∴∠ACB=∠DAC，

∴AD∥BP

∴∠ADB =∠DBC=α，

∴AD=AB=2x，

在△ABP中，AB=2x，BE=3，CE=x，CP=（x+3），AP=，AE⊥BC，

∴，

解得：x=2，x=（舍去），

∴AB=4，BC=5，AE=，AC=，

∵，

∴，

故答案為．