Question

【題目】如圖，直線l：y＝x﹣2分別交x，y軸于A、B兩點，C、D是直線l上的兩個動點，點C在第一象限，點D在第三象限．且始終有∠COD＝135°．

（1）求證：△OAC∽△DBO；

（2）若點C、D都在反比例函數y＝的圖象上，求k的值；

（3）記△OBD的面積為S1，△AOC的面積為S2，且＝，二次函數y＝ax2+bx+c滿足以下兩個條件：①圖象過C、D兩點；②當S1xS2時，y有最大值2，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）先求出點A，點B坐標，可求∠OAB＝∠OBA＝45°，由外角的性質可求∠DOB＝∠ACO，∠AOC＝∠ODB，可證△OAC∽△DBO；

（2）由相似三角形的性質可得，設＝a＞0，用a表示點C，點D坐標，代入反比例函數解析式，可求解；

（3）先求出點C，點D坐標，代入解析式，由題意可得當x＝2時，y有最大值2，組成方程組，可求a的值.

解：（1）∵直線l：y＝x﹣2分別交x，y軸于A、B兩點，

∴點A（2，0），點B（0，﹣2），

∴AO＝BO＝2，

∴∠OAB＝∠OBA＝45°，

∴∠OCA+∠AOC＝45°，∠ODB+∠DOB＝45°，

∵∠COD＝135°，

∴∠DOB+∠AOB+∠AOC＝135°，

∴∠DOB+∠AOC＝45°，

∴∠DOB＝∠ACO，∠AOC＝∠ODB，

∴△OAC∽△DBO；

（2）如圖，過點C作CF⊥x軸于F，過點D作DE⊥y軸于E，

∵△OAC∽△DBO，

∴,

∴設＝a＞0，

∴BD＝，AC＝2a，

∵∠CAF＝∠OAB＝45°，

∴∠ACF＝∠CAF＝45°，

∴AF＝CF＝＝a，

∴點C坐標（2+a，a），

同理可求點D坐標（﹣，﹣2﹣），

∵點C、D都在反比例函數y＝的圖象上，

∴（2+a）a＝（2+）

∴（a2+2a+）（a+1）（a﹣1）＝0，

∵a＞0，

∴a2+2a+≠0，a+1≠0，

∴a﹣1＝0，

∴點C（2+，）

∴k＝（2+）＝；

（3）∵△OAC∽△DBO，

∴,

∴,

∴AC＝2，

∴AF＝CF＝2，

∴點C（4，2），

∵，

∴ ,

∴BD＝，

∴DE＝BE＝1，

∴點D（﹣1，﹣3），

∴△OBD的面積為S1＝×2×1＝1，△AOC的面積為S2＝×2×2＝2，

∵二次函數y＝ax2+bx+c滿足以下兩個條件：①圖象過C、D兩點；②當1≤x≤2時，y有最大值2，

∴，

解得： ，

∴a＝.