Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC= ，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的弧交CA于點(diǎn)D；以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑的弧交AB于點(diǎn)E．
（1）求AE的長(zhǎng)度；
（2）分別以點(diǎn)A、E為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)F（F與C在AB兩側(cè)），連接AF、EF，設(shè)EF交弧DE所在的圓于點(diǎn)G，連接AG，試猜想∠EAG的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△ABC中，由AB=1，BC= ，

得AC= = ，

∵以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的弧交CA于點(diǎn)D；以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑的弧交AB于點(diǎn)E

∴BC=CD，AE=AD，

∴AE=AC﹣CD=

（2）解：∠EAG=36°，理由如下：

∵FA=FE=AB=1，AE= ，

∴ = ，

∴△FAE是黃金三角形，

∴∠F=36°，∠AEF=72°，

∵AE=AG，

∴∠EAG=∠F=36°

【解析】（1）根據(jù)在Rt△ABC中利用勾股定理求得AC，根據(jù)BC=CD，AE=AD求得AE=AC﹣AD即可．（2）根據(jù)FA=FE=AB=1，求得AE可得△FAE是黃金三角形可得∠EAG=∠F=36°．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了勾股定理的概念和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線(xiàn)段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．