Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A（1,0），B（0,3），將Rt△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到Rt△COD，CD的延長(zhǎng)線，交AB于點(diǎn)E，連接BC，二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A、B、C.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)P是線段BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠PBC=75°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)F，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)Q、O、F為頂點(diǎn)的三角形，與△BDE相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）y= --2x+3；（2）P（，）；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1,3）、（1,）、（1,-3）、（1,-）.

【解析】分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式即可；

（2）作PF⊥y軸，利用直角三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)上的點(diǎn)的特點(diǎn)，求解P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）利用相似三角形的判定和性質(zhì)，分類(lèi)討論即可求解.

詳解：(1) ∵旋轉(zhuǎn)

∴Rt△COD≌Rt△AOB

∴OC=OB=3

∴C（-3,0）

將A（1,0）、B（0,3）、C（-3,0）代入得

∴

∴y= --2x+3

(2) 作PF⊥y軸

∵OB=OC ∠BOC=90°

∴∠CBO=45°

∵∠PBC=75°

∴∠PBO=120°

∴∠PBF=60°

設(shè)BF=n，則PF=n

∴P（-n，n+3）

把點(diǎn)P坐標(biāo)代入y= --2x+3得，

n+3=

解得n1=0，n2=

∴P（，）

(3)如圖所示

二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為 x= =-1 ，

∴OF=1

∵Rt△COD≌Rt△AOB

∴∠ABO=∠DCO,∠CDO=∠BAO

∵∠CDO=∠BDE,

∴∠BDE=∠BAO

∴△BDE∽△BAO

∴

當(dāng)△Q1OF∽△BDE時(shí)，

∴Q1F=3OF=3, ∴Q1（1,3）

當(dāng)△OQ2F∽△BDE時(shí)，

∴Q2F=OF=, ∴Q2（1,）

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性Q3（1,-3），Q4（1,-）

綜上所述，符合要求的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1,3）、（1,）、（1,-3）、（1,-）.