Question

3．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，點P是△ABC內一點，且∠PAC+∠PCA=$\frac{α}{2}$，連接PB，試探究PA、PB、PC滿足的等量關系．
（1）當α=60°時，將△ABP繞點A逆時針旋轉60°得到△ACP′，連接PP′，如圖1所示．由△ABP≌△ACP′可以證得△APP′是等邊三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小為150度，進而得到△CPP′是直角三角形，這樣可以得到PA、PB、PC滿足的等量關系為PA²+PC²=PB²；
（2）如圖2，當α=120°時，參考（1）中的方法，探究PA、PB、PC滿足的等量關系，并給出證明；
（3）PA、PB、PC滿足的等量關系為4PA²•sin²$\frac{α}{2}$+PC²=PB²．

Answer 1

分析 （1）根據旋轉變換的性質得到△PAP′為等邊三角形，得到∠P′PC=90°，根據勾股定理解答即可；
（2）如圖2，作將△ABP繞點A逆時針旋轉120°得到△ACP′，連接PP′，作AD⊥PP′于D，根據余弦的定義得到PP′=$\sqrt{3}$PA，根據勾股定理解答即可；
（3）與（2）類似，根據旋轉變換的性質、勾股定理和余弦、正弦的關系計算即可．

解答 解：（1）∵△ABP≌△ACP′，
∴AP=AP′，
由旋轉變換的性質可知，∠PAP′=60°，P′C=PB，
∴△PAP′為等邊三角形，
∴∠APP′=60°，
∵∠PAC+∠PCA=$\frac{60°}{2}$=30°，
∴∠APC=150°，
∴∠P′PC=90°，
∴PP′²+PC²=P′C²，
∴PA²+PC²=PB²，
故答案為：150，PA²+PC²=PB²；
（2）如圖2，作將△ABP繞點A逆時針旋轉120°得到△ACP′，連接PP′，
作AD⊥PP′于D，
由旋轉變換的性質可知，∠PAP′=120°，P′C=PB，
∴∠APP′=30°，
∵∵∠PAC+∠PCA=$\frac{120°}{2}$=60°，
∴∠APC=120°，
∴∠P′PC=90°，
∴PP′²+PC²=P′C²，
∵∠APP′=30°，
∴PD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PA，
∴PP′=$\sqrt{3}$PA，
∴3PA²+PC²=PB²；
（3）如圖2，與（2）的方法類似，
作將△ABP繞點A逆時針旋轉α得到△ACP′，連接PP′，
作AD⊥PP′于D，
由旋轉變換的性質可知，∠PAP′=α，P′C=PB，
∴∠APP′=90°-$\frac{α}{2}$，
∵∵∠PAC+∠PCA=$\frac{α}{2}$，
∴∠APC=180°-$\frac{α}{2}$，
∴∠P′PC=（180°-$\frac{α}{2}$）-（90°-$\frac{α}{2}$）=90°，
∴PP′²+PC²=P′C²，
∵∠APP′=90°-$\frac{α}{2}$，
∴PD=PA•cos（90°-$\frac{α}{2}$）=PA•sin$\frac{α}{2}$，
∴PP′=2PA•sin$\frac{α}{2}$，
∴4PA²sin²$\frac{α}{2}$+PC²=PB²，
故答案為：4PA²sin²$\frac{α}{2}$+PC²=PB²．

點評 本題考查的是旋轉變換的性質、等邊三角形的性質、勾股定理的應用，掌握等邊三角形的性質、旋轉變換的性質、靈活運用類比思想是解題的關鍵．