Question

【題目】如圖，已知拋物線y= x2+bx與直線y=2x交于點O（0，0），A（a，12）．點B是拋物線上O，A之間的一個動點，過點B分別作x軸、y軸的平行線與直線OA交于點C，E．

（1）求拋物線的函數解析式；
（2）若點C為OA的中點，求BC的長；
（3）以BC，BE為邊構造矩形BCDE，設點D的坐標為（m，n），求出m，n之間的關系式．
（4）將射線OA繞原點旋轉45°并與拋物線交于點P，求出P點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A（a，12）在直線y=2x上，

∴12=2a，

解得：a=6，

又∵點A是拋物線y= x2+bx上的一點，

將點A（6，12）代入y= x2+bx，可得b=﹣1，

∴拋物線解析式為y= x2﹣x

（2）

解：∵點C是OA的中點，

∴點C的坐標為（3，6），

把y=6代入y= x2﹣x，

解得：x1=1+ ，x2=1﹣ （舍去），

故BC=1+ ﹣3= ﹣2

（3）

解：∵直線OA的解析式為：y=2x，

點D的坐標為（m，n），

∴點E的坐標為（ n，n），點C的坐標為（m，2m），

∴點B的坐標為（ n，2m），

把點B（ n，2m）代入y= x2﹣x，可得m= n2﹣ n，

∴m、n之間的關系式為m= n2﹣ n

（4）

解：過點P作DO的垂線，垂足為H，

∵∠POH=45°，

∴△POH為等腰直角三角形，點P可視為點O繞點H順時針旋轉90°而成，

∵點H在直線OA上，設H（t，2t），O（0，0），

將H點平移至原點，H′（0，0），則O（﹣t，﹣2t），

將O′點繞原點順時針旋轉90°，則P′（﹣2t，t），

將H′平移至H點，則P′平移后即為P（﹣t，3t），

∵P點在拋物線上，

∴3t= t2+t，解得：t1=0（舍），t2=4，

∴P1（﹣4，12），

∵OP1⊥OP2，∴KOP1×KOP2=﹣1，

∵KOP1=﹣3，∴KOP2= ，

∴lOP1：y= x，

∵ ，

∴x1=0，x2= ，

∴P2（ ， ）．

【解析】（1）將點A的坐標代入直線解析式求出a的值，繼而將點A的坐標代入拋物線解析式可得出b的值，繼而得出拋物線解析式；（2）根據點A的坐標，求出點C的坐標，將點B的縱坐標代入求出點B的橫坐標，繼而可求出BC的長度；（3）根據點D的坐標，可得出點E的坐標，點C的坐標，繼而確定點B的坐標，將點B的坐標代入拋物線解析式可求出m，n之間的關系式．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．